Considere o ângulo entre planos como o ângulo entre as suas retas normais. Ache os ângulos entre os planos:
3 x-y+z=2 e x-y=6

Passo 1

O enunciado dá duas equações de planos e pede o ângulo entre eles. Informações fornecidas:
  • Plano 1: 3x-y+z=2.
  • Plano 2: x-y=6.
O que se pede:
  • Encontrar o ângulo entre os dois planos.

Passo 2

Observação importante (sem resolver ainda): a equação geral de um plano é ax+by+cz=d. Os coeficientes a,b,c formam um vetor normal ao plano. Ou seja, de cada plano basta extrair o vetor normal, que é uma reta (vetor) perpendicular ao plano.
Explicando didaticamente:
  • Se um plano tem equação ax+by+cz=d, então o vetor normal é (a,b,c).
  • Isso funciona porque o produto escalar entre o vetor normal e qualquer vetor paralelo ao plano é zero (condição de perpendicularidade).

Passo 3

Pegando os vetores normais dos planos dados (usei os coeficientes das equações dos planos):
  • Para 3x-y+z=2 o vetor normal é \mathbf{n}_1=(3,-1,1).
  • Para x-y=6 a equação pode ser vista como x-y+0\cdot z=6, então o vetor normal é \mathbf{n}_2=(1,-1,0).

Passo 4

Fórmula para o ângulo entre dois vetores (aqui usada para os vetores normais): se \mathbf{u} e \mathbf{v} são vetores, o cosseno do ângulo \theta entre eles é dado por
\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|},
onde:
  • \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é o produto escalar (soma dos produtos das componentes correspondentes),
  • \|\mathbf{u}\| é a norma (comprimento) do vetor \mathbf{u}, dada por \|\mathbf{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.
No nosso caso, \theta será o ângulo entre \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2, que, conforme o enunciado, é o ângulo entre os planos.

Passo 5

Calcular o produto escalar \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2 (multiplica componente a componente e soma):
\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2 = 3\cdot1 + (-1)\cdot(-1) + 1\cdot0 = 3 + 1 + 0 = 4.

Passo 6

Calcular as normas \|\mathbf{n}_1\| e \|\mathbf{n}_2\|:
\|\mathbf{n}_1\|=\sqrt{3^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{9+1+1}=\sqrt{11},
\|\mathbf{n}_2\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2}.

Passo 7

Agora aplicar a fórmula do cosseno:
\cos\theta=\frac{4}{\sqrt{11}\,\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{22}}.
Calcular o ângulo \theta (em radianos e em graus). Primeiro valor numérico do cosseno:
\frac{4}{\sqrt{22}}\approx 0,852802\ldots
Então
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{4}{\sqrt{22}}\right)\approx 0,5536\\ \text{rad}.
Converter para graus usando 1\\ \text{rad}=\dfrac{180^\circ}{\pi}:
\theta\approx 0,5536\cdot\frac{180^\circ}{\pi}\approx 31,72^\circ.
Comentário amigável: como o cosseno deu positivo, o ângulo entre os planos é agudo (menor que 90^\circ), e esse valor é o ângulo pedido.

Resposta

\displaystyle \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{4}{\sqrt{22}}\right)\approx0,5536\\ \text{rad}\approx31,72^\circ

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