Considere o ângulo entre planos como o ângulo entre as suas retas normais. Ache os ângulos entre os planos:
e
Passo 1
O enunciado dá duas equações de planos e pede o ângulo entre eles. Informações fornecidas:
- Plano 1:
. - Plano 2:
.
O que se pede:
- Encontrar o ângulo entre os dois planos.
Passo 2
Observação importante (sem resolver ainda): a equação geral de um plano é
. Os coeficientes
formam um vetor normal ao plano. Ou seja, de cada plano basta extrair o vetor normal, que é uma reta (vetor) perpendicular ao plano.
Explicando didaticamente:
- Se um plano tem equação
, então o vetor normal é . - Isso funciona porque o produto escalar entre o vetor normal e qualquer vetor paralelo ao plano é zero (condição de perpendicularidade).
Passo 3
Pegando os vetores normais dos planos dados (usei os coeficientes das equações dos planos):
- Para
o vetor normal é . - Para
a equação pode ser vista como , então o vetor normal é .
Passo 4
Fórmula para o ângulo entre dois vetores (aqui usada para os vetores normais): se
e
são vetores, o cosseno do ângulo
entre eles é dado por
onde:
-
é o produto escalar (soma dos produtos das componentes correspondentes), -
é a norma (comprimento) do vetor , dada por .
No nosso caso,
será o ângulo entre
e
, que, conforme o enunciado, é o ângulo entre os planos.
Passo 5
Calcular o produto escalar
(multiplica componente a componente e soma):
Passo 6
Calcular as normas
e
:
Passo 7
Agora aplicar a fórmula do cosseno:
Calcular o ângulo
(em radianos e em graus). Primeiro valor numérico do cosseno:
Então
Converter para graus usando
:
Comentário amigável: como o cosseno deu positivo, o ângulo entre os planos é agudo (menor que
), e esse valor é o ângulo pedido.