Considere a transformação linear
, definida por:
onde
é um polinômio de grau no máximo 1 .
(a) Mostre que
é inversível.
(b) Determine explicitamente a transformação inversa
.
(a) Mostre que
(b) Determine explicitamente a transformação inversa
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear
por
onde
é o espaço dos polinômios reais de grau no máximo
. As perguntas são:
(a) Mostrar que é inversível (ou seja, existe
).
(b) Determinar explicitamente .
(a) Mostrar que
(b) Determinar explicitamente
Informações úteis dadas pelo enunciado e que vamos usar:
- Todo
pode ser escrito como , com . - Para tal
temos e . - O domínio
tem dimensão (base típica ) e o contradomínio tem dimensão (base padrão).
Passo 2
Primeiro vamos verificar que
é linear (isso é útil para aplicar propriedades de transformações lineares).
Sejam e
. Precisamos checar que
.
Sejam
Escrevendo
e usando definição de
, temos
Do outro lado,
As duas expressões coincidem, logo
é linear.
Passo 3
Agora vamos mostrar que
Isto dá o sistema
Da primeira equação vem
. Portanto
, ou seja
é o polinômio zero. Assim
, o núcleo é trivial, logo
é injetiva.]
Passo 4
Usamos agora uma propriedade básica de espaços vetoriais finito-dimensionais: se
e
têm a mesma dimensão finita e
é linear e injetiva, então
é bijetiva (portanto sobrejetiva também) e tem inversa linear. Aqui
e
; como já mostramos que
é injetiva, concluímos que
é bijetiva e, portanto, inversível. Isso responde a (a).
Observação alternativa (útil para prova curta): tomando a base
de
e a base canônica de
, as imagens são
e
. A matriz de
nessas bases é
que tem determinante
. Determinante não nulo implica invertibilidade da matriz, logo
é inversível.]
Passo 5
Agora vamos achar explicitamente
Isto é o sistema
Da primeira equação obtemos
é a combinação afim que dá os valores
em
e
em
.]
Passo 6
Verificação rápida de que isto é de fato o inverso: para
definido acima,
e para
,
Logo a fórmula encontrada é realmente a inversa.
Resposta
(a)
é inversível.
(b) .
(b)