Considere a transformação linear T: P_{1}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{2}, definida por:
T(p(x))=\binom{p(0)}{p(1)}
onde p(x) \in P_{1}(\mathbb{R}) é um polinômio de grau no máximo 1 .
(a) Mostre que T é inversível.
(b) Determine explicitamente a transformação inversa T^{-1}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow P_{1}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear T: P_{1}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^{2} por
T(p(x))=\binom{p(0)}{p(1)}
onde P_{1}(\mathbb{R}) é o espaço dos polinômios reais de grau no máximo 1. As perguntas são:
(a) Mostrar que T é inversível (ou seja, existe T^{-1}).
(b) Determinar explicitamente T^{-1}:\mathbb{R}^{2}\to P_{1}(\mathbb{R}).
Informações úteis dadas pelo enunciado e que vamos usar:
  • Todo p(x)\in P_{1}(\mathbb{R}) pode ser escrito como p(x)=\alpha+\beta x, com \alpha,\beta\in\mathbb{R}.
  • Para tal p temos p(0)=\alpha e p(1)=\alpha+\beta.
  • O domínio P_{1}(\mathbb{R}) tem dimensão 2 (base típica \{1,x\}) e o contradomínio \mathbb{R}^{2} tem dimensão 2 (base padrão).

Passo 2

Primeiro vamos verificar que T é linear (isso é útil para aplicar propriedades de transformações lineares).
Sejam p,q\in P_{1}(\mathbb{R}) e \lambda\in\mathbb{R}. Precisamos checar que T(\lambda p+q)=\lambda T(p)+T(q).
Escrevendo p(0),p(1),q(0),q(1) e usando definição de T, temos
T(\lambda p+q)=\binom{(\lambda p+q)(0)}{(\lambda p+q)(1)} =\binom{\lambda p(0)+q(0)}{\lambda p(1)+q(1)}.
Do outro lado,
\lambda T(p)+T(q)=\lambda\binom{p(0)}{p(1)}+\binom{q(0)}{q(1)} =\binom{\lambda p(0)+q(0)}{\lambda p(1)+q(1)}.
As duas expressões coincidem, logo T é linear.

Passo 3

Agora vamos mostrar que T\) é injetiva mostrando que seu núcleo é trivial. Se \(p(x)=\alpha+\beta x\in\ker T\), então \[T(p)=\binom{p(0)}{p(1)}=\binom{0}{0}.
Isto dá o sistema
\begin{cases} p(0)=\alpha=0,\\[4pt] p(1)=\alpha+\beta=0. \end{cases}
Da primeira equação vem \alpha=0\]. Substituindo na segunda obtemos \(\beta=0. Portanto \alpha=\beta=0, ou seja p é o polinômio zero. Assim \ker T=\{0\}, o núcleo é trivial, logo T é injetiva.]

Passo 4

Usamos agora uma propriedade básica de espaços vetoriais finito-dimensionais: se V e W têm a mesma dimensão finita e L:V\to W é linear e injetiva, então L é bijetiva (portanto sobrejetiva também) e tem inversa linear. Aqui \dim P_{1}(\mathbb{R})=2 e \dim\mathbb{R}^{2}=2; como já mostramos que T é injetiva, concluímos que T é bijetiva e, portanto, inversível. Isso responde a (a).
Observação alternativa (útil para prova curta): tomando a base \{1,x\} de P_{1}(\mathbb{R}) e a base canônica de \mathbb{R}^{2}, as imagens são T(1)=\binom{1}{1} e T(x)=\binom{0}{1}. A matriz de T nessas bases é
\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix},
que tem determinante 1\neq 0. Determinante não nulo implica invertibilidade da matriz, logo T é inversível.]

Passo 5

Agora vamos achar explicitamente T^{-1}\). Seja \(\binom{u}{v}\in\mathbb{R}^{2}\). Queremos o polinômio \(p(x)=\alpha+\beta x\in P_{1}(\mathbb{R})\) tal que \[T(p)=\binom{p(0)}{p(1)}=\binom{u}{v}.
Isto é o sistema
\begin{cases} \alpha = u,\\[4pt] \alpha+\beta = v. \end{cases}
Da primeira equação obtemos \alpha=u\]. Substituindo na segunda: \[u+\beta=v \quad\Rightarrow\quad \beta = v-u.\] Portanto o polinômio procurado é \[p(x)=u+(v-u)x.\] Outra forma equivalente, muitas vezes mais clara, é escrever \[p(x)=u(1-x)+v x,\] que mostra que \(p é a combinação afim que dá os valores u em x=0 e v em x=1.]

Passo 6

Verificação rápida de que isto é de fato o inverso: para \binom{u}{v} definido acima,
T\bigl(u+(v-u)x\bigr)=\binom{u+(v-u)\cdot 0}{u+(v-u)\cdot 1}=\binom{u}{v},
e para p(x)=\alpha+\beta x,
T^{-1}\bigl(T(p)\bigr)=T^{-1}\binom{\alpha}{\alpha+\beta}=\alpha+(\alpha+\beta-\alpha)x=\alpha+\beta x=p(x).
Logo a fórmula encontrada é realmente a inversa.

Resposta

(a) T é inversível.
(b) \displaystyle T^{-1}\!\left(\binom{u}{v}\right)=u+(v-u)x=\;u(1-x)+v x.

Exercícios relacionados