Verifique se a aplicação T: M_{m n}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R} definida por T(A)=\operatorname{tr}(A) é linear.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação T: M_{m n}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R} dada por T(A)=\operatorname{tr}(A) é linear. As informações que o enunciado fornece são:
  • O domínio é M_{m n}(\mathbb{R}), ou seja, matrizes reais de tamanho m\times n.
  • A aplicação é definida por T(A)=\operatorname{tr}(A).
  • O contradomínio é \mathbb{R}.
Observação importante: a função traço, \operatorname{tr}(A), é definida como a soma das entradas da diagonal principal de A. Isso só faz sentido quando a matriz é quadrada. Portanto, para que o enunciado seja bem-posed, assumimos que m=n. Ou seja, a partir daqui consideramos T: M_{n n}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R} com T(A)=\operatorname{tr}(A).

Passo 2

Vou explicar o que é exatamente \operatorname{tr}(A) e qual é a definição de linearidade que vamos usar.
Definição do traço: se A=(a_{ij}) é uma matriz n\times n, então
\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{ii}.
Aqui a_{ii} indica a entrada que está na linha i e coluna i (a diagonal principal).
Definição de linearidade: uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer matrizes A,B\in M_{n n}(\mathbb{R}) e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
  1. aditividade: T(A+B)=T(A)+T(B),
  2. homogeneidade (ou multiplicação por escalar): T(cA)=c\,T(A).
Nossa meta é provar essas duas propriedades para T(A)=\operatorname{tr}(A).

Passo 3

Prova da aditividade: tomemos A=(a_{ij}) e B=(b_{ij}) em M_{n n}(\mathbb{R}). A soma A+B tem entradas (A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}. Logo a diagonal de A+B tem entradas (A+B)_{ii}=a_{ii}+b_{ii}. Então, pela definição de traço,
\operatorname{tr}(A+B)=\sum_{i=1}^{n} (A+B)_{ii}=\sum_{i=1}^{n} (a_{ii}+b_{ii}).
Agora usamos a propriedade distributiva da soma finita (somar pares é o mesmo que somar separadamente):
\sum_{i=1}^{n} (a_{ii}+b_{ii})=\sum_{i=1}^{n} a_{ii} + \sum_{i=1}^{n} b_{ii}=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B).
Portanto T(A+B)=T(A)+T(B). Isso mostra a aditividade.

Passo 4

Prova da homogeneidade: tomemos um escalar c\in\mathbb{R} e uma matriz A=(a_{ij}). A matriz cA tem entradas (cA)_{ij}=c\,a_{ij}. Assim as entradas da diagonal são (cA)_{ii}=c\,a_{ii}. Pela definição de traço,
\operatorname{tr}(cA)=\sum_{i=1}^{n} (cA)_{ii}=\sum_{i=1}^{n} c\,a_{ii}.
Como podemos fatorar o escalar c fora da soma finita,
\sum_{i=1}^{n} c\,a_{ii}=c \sum_{i=1}^{n} a_{ii}=c\,\operatorname{tr}(A).
Logo T(cA)=c\,T(A). Isso mostra a homogeneidade.

Passo 5

Conclusão e exemplinho para fixar: juntando os Passos 3 e 4, vimos que T satisfaz aditividade e homogeneidade para quaisquer A,B e qualquer c. Portanto T é linear.
Exemplo concreto (para você ver na prática): tome
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}5 & 0 \\\\ 0 & -1\end{pmatrix}.
Então \operatorname{tr}(A)=1+4=5 e \operatorname{tr}(B)=5+(-1)=4. A soma é
A+B=\begin{pmatrix}6 & 2 \\\\ 3 & 3\end{pmatrix}
e \operatorname{tr}(A+B)=6+3=9, que é igual a 5+4=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B). Para escalar c=2,
2A=\begin{pmatrix}2 & 4 \\\\ 6 & 8\end{pmatrix}
e \operatorname{tr}(2A)=2+8=10, que é 2\cdot 5=2\,\operatorname{tr}(A). Funciona direitinho.

Resposta

Sim, T é linear.

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