Verifique se a aplicação T: M_{m n}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R} definida por T(A)=\operatorname{tr}(A) é linear.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação T: M_{m n}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R} dada por T(A)=\operatorname{tr}(A) é linear. As informações que o enunciado fornece são:
O domínio é M_{m n}(\mathbb{R}), ou seja, matrizes reais de tamanho m\times n.
A aplicação é definida por T(A)=\operatorname{tr}(A).
O contradomínio é \mathbb{R}.
Observação importante: a função traço, \operatorname{tr}(A), é definida como a soma das entradas da diagonal principal de A. Isso só faz sentido quando a matriz é quadrada. Portanto, para que o enunciado seja bem-posed, assumimos que m=n. Ou seja, a partir daqui consideramos T: M_{n n}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R} com T(A)=\operatorname{tr}(A).
Passo 2
Vou explicar o que é exatamente \operatorname{tr}(A) e qual é a definição de linearidade que vamos usar.
Definição do traço: se A=(a_{ij}) é uma matriz n\times n, então
\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{ii}.
Aqui a_{ii} indica a entrada que está na linha i e coluna i (a diagonal principal).
Definição de linearidade: uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer matrizes A,B\in M_{n n}(\mathbb{R}) e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
aditividade: T(A+B)=T(A)+T(B),
homogeneidade (ou multiplicação por escalar): T(cA)=c\,T(A).
Nossa meta é provar essas duas propriedades para T(A)=\operatorname{tr}(A).
Passo 3
Prova da aditividade: tomemos A=(a_{ij}) e B=(b_{ij}) em M_{n n}(\mathbb{R}). A soma A+B tem entradas (A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}. Logo a diagonal de A+B tem entradas (A+B)_{ii}=a_{ii}+b_{ii}. Então, pela definição de traço,
Portanto T(A+B)=T(A)+T(B). Isso mostra a aditividade.
Passo 4
Prova da homogeneidade: tomemos um escalar c\in\mathbb{R} e uma matriz A=(a_{ij}). A matriz cA tem entradas (cA)_{ij}=c\,a_{ij}. Assim as entradas da diagonal são (cA)_{ii}=c\,a_{ii}. Pela definição de traço,
Conclusão e exemplinho para fixar: juntando os Passos 3 e 4, vimos que T satisfaz aditividade e homogeneidade para quaisquer A,B e qualquer c. Portanto T é linear.