Considere as transformações lineares T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} e S: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, com as bases \mathcal{B}, \mathcal{C} e \mathcal{D}, que são as bases canônicas de \mathbb{R}^{3}, \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{3}, respectivamente.
Determine a matriz da transformação composta [S \circ T]_{\mathcal{D} \leftarrow \mathcal{B}} :
(a) Pela definição, calculando diretamente S(T(v)) para v \in \mathbb{R}^{3}.
(b) Utilizando o fato de que [S \circ T]_{\mathcal{D} \leftarrow \mathcal{B}}=[S]_{\mathcal{D} \leftarrow \mathcal{C}} \cdot[T]_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a matriz da transformação composta [S\circ T]_{\mathcal{D}\leftarrow\mathcal{B}}, onde T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 e S:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3. As bases \mathcal{B},\mathcal{C},\mathcal{D} são as bases canônicas de \mathbb{R}^3,\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^3, respectivamente.
O enunciado pede duas abordagens:
(a) Fazer pela definição, calculando S(T(v)) para v\in\mathbb{R}^3 (na prática: calcular as imagens dos vetores da base \mathcal{B} e montar as colunas).
(b) Usar a propriedade de matrizes de transformações lineares:
Não foram fornecidas matrizes numéricas específicas para S e T, então vou trabalhar de forma simbólica (entradas gerais). Vou mostrar passo a passo como obter a matriz da composta em termos das entradas de [T]_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} e [S]_{\mathcal{D}\leftarrow\mathcal{C}}.
Passo 2
Noção importante (explicação didática): a matriz de uma transformação linear em bases canônicas é formada pelas imagens dos vetores da base (colunas).
Para T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2, a matriz [T]_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} é uma matriz 2\times 3. A coluna j dessa matriz é exatamente T(\mathbf{e}_j), onde \mathbf{e}_j é o j-ésimo vetor da base canônica de \mathbb{R}^3.
Para S:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3, a matriz [S]_{\mathcal{D}\leftarrow\mathcal{C}} é uma matriz 3\times 2. A coluna k dessa matriz é S(\mathbf{f}_k), onde \mathbf{f}_k é o k-ésimo vetor da base canônica de \mathbb{R}^2.
Quando queremos [S\circ T]_{\mathcal{D}\leftarrow\mathcal{B}}, cada coluna j dessa matriz é S(T(\mathbf{e}_j)). Vou usar essa ideia na abordagem (a) e depois mostrar que resulta da multiplicação de matrizes na (b).
Passo 3
Vamos introduzir notação para as entradas das matrizes (tudo simbólico):
A coluna j de [T]_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} é T(\mathbf{e}_j)=\begin{pmatrix}t_{1j}\\\ t_{2j}\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2.
As colunas de [S]_{\mathcal{D}\leftarrow\mathcal{C}} são S(\mathbf{f}_1)=\begin{pmatrix}s_{11}\\\ s_{21}\\\ s_{31}\end{pmatrix} e S(\mathbf{f}_2)=\begin{pmatrix}s_{12}\\\ s_{22}\\\ s_{32}\end{pmatrix}.]
Passo 4
Pela definição da matriz da composta, a coluna j de [S\circ T]_{\mathcal{D}\leftarrow\mathcal{B}} é
S\big(T(\mathbf{e}_j)\big).
Sabemos que T(\mathbf{e}_j)=\begin{pmatrix}t_{1j}\\\ t_{2j}\end{pmatrix}. Como S é linear, se aplicamos S a um vetor em \mathbb{R}^2 escrito em coordenadas canônicas,
Fazendo isso para j=1,2,3, obtemos que [S\circ T]_{\mathcal{D}\leftarrow\mathcal{B}} é a matriz 3\times 3 cujas colunas são os vetores acima. Portanto, explicitamente,
Agora uso a propriedade de alinhamento de matrizes. A multiplicação [S]_{\mathcal{D}\leftarrow\mathcal{C}}\cdot [T]_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} é bem definida: uma matriz 3\times 2 vezes uma 2\times 3 dá uma 3\times 3. O elemento na posição (i,j) do produto é a soma sobre k=1,2 de s_{ik}\,t_{kj}, isto é,
Portanto a multiplicação produz a mesma matriz obtida pela definição (cada coluna sendo S(T(\mathbf{e}_j))).]
Passo 6
Resumo final: os dois métodos (definição aplicando S em T(\mathbf{e}_j) coluna a coluna, e multiplicação de matrizes) dão o mesmo resultado, que em termos das entradas s_{ij} e t_{ij} é a matriz apresentada acima. Isso é um caso concreto da regra geral: a matriz da composta é o produto das matrizes (na ordem correta).