Considere a transformação linear T: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow P_{2}(\mathbb{R}), definida por:
T(p(x))=p^{\prime}(x)+p(x),
onde p(x) \in P_{2}(\mathbb{R}).
(a) Determine a matriz [T]_{\mathcal{B}} da transformação T em relação à base \mathcal{B}= \left\{1, x, x^{2}\right\}.
(b) Sabendo que a base \mathcal{C}=\left\{1, x-1,(x-1)^{2}\right\}, utilize a matriz de mudança de base para determinar [T]_{\mathcal{C}}.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T: P_{2}(\mathbb{R}) \to P_{2}(\mathbb{R}) definida por
T(p(x)) = p'(x) + p(x).
Pede-se duas coisas:
(a) A matriz de T em relação à base \mathcal{B}=\{1, x, x^{2}\}.
(b) A matriz de T em relação à base \mathcal{C}=\{1, x-1, (x-1)^2\}, usando mudança de base.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A ação de T sobre um polinômio é somar a sua derivada com ele mesmo.
As bases \mathcal{B} e \mathcal{C} estão explicitadas, então podemos escrever as coordenadas de seus vetores na base \mathcal{B} e montar a matriz de mudança de base.
Passo 2
Vamos entender como obter a matriz de uma transformação linear em uma base: para cada vetor da base, aplicamos T, escrevemos o resultado como combinação linear dos vetores daquela base e colocamos os coeficientes como a respectiva coluna da matriz. Vou fazer isso primeiro para a base \mathcal{B}.
Tomemos um polinômio genérico p(x)=a+bx+cx^{2}. A derivada é
p'(x)=b+2cx.
Logo
T(p(x))=p'(x)+p(x)=(a+b) + (b+2c)x + c x^{2}.
Isto nos diz, de forma geral, como os coeficientes mudam: termo constante passa a a+b, coeficiente de x passa a b+2c, coeficiente de x^{2} permanece c.
Passo 3
Aplicamos a regra do Passo 2 aos vetores da base \mathcal{B} separadamente.
Para 1: p(x)=1 tem a=1,b=0,c=0. Então
T(1)=1' + 1 = 0 + 1 = 1.
Em coordenadas na base \mathcal{B} isso é \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Para x: p(x)=x tem a=0,b=1,c=0. Então
T(x)=x' + x = 1 + x,
que em coordenadas da base \mathcal{B} é \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Para x^{2}: p(x)=x^{2} tem a=0,b=0,c=1. Então
T(x^{2})=(x^{2})' + x^{2} = 2x + x^{2},
que em coordenadas da base \mathcal{B} é \begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}.
Passo 4
Montamos a matriz [T]_{\mathcal{B}} com as colunas sendo as coordenadas encontradas, na ordem da base \mathcal{B}=\{1,x,x^2\}:
Precisamos de P^{-1}. Observando que P é triangular superior com diagonal de 1, podemos achar P^{-1} por substituição (ou resolvendo P X = I). Fazendo isso (mostrei os cálculos nos rascunhos), obtemos as colunas de P^{-1} como:
Uma forma mais direta de ver isso (e uma boa checagem para prova) é aplicar T diretamente aos vetores da base \mathcal{C} e escrever os resultados em coordenadas de \mathcal{C}:
T(1)=1 → coordenadas em \mathcal{C}: \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.