Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (x-2 y-2 z,-2 x+5 y+5 z,-x+y+2 z).
Determine B a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{22} vale:
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
(F) 3
(G) 4
(H) 5
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z) = (x-2y-2z,\;-2x+5y+5z,\;-x+y+2z).
Pede-se: determinar a matriz B que representa a inversa de T e, em particular, encontrar o valor da entrada b_{22}.
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes de T em cada componente (já escritos acima).
Passo 2
Escrevemos a matriz A que representa T na base canônica. Cada coluna de A é a imagem de um vetor da base canônica ou, equivalentemente, os coeficientes das expressões das componentes de T. Assim,
porque T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.]
Passo 3
Explico uma propriedade útil (muito prática na prova): se B=A^{-1} então AB=I. Daí, a j-ésima coluna de B é a solução v do sistema linear
A v = e_j,
onde e_j é o j-ésimo vetor da base canônica. Ou seja, para encontrar a segunda coluna de B (coluna j=2) basta resolver A v = e_2. A razão: multiplicar A pela coluna j de B deve dar e_j (pois AB=I).
Passo 4
Vamos então resolver A v = e_2. Escrevemos v=(x,y,z)^T e e_2=(0,1,0)^T. O sistema é
\begin{cases} x - 2y - 2z = 0,\\[4pt] -2x + 5y + 5z = 1,\\[4pt] - x + y + 2z = 0. \end{cases}]
Passo 5
Resolvendo passo a passo. Da primeira equação isolamos x:
x = 2y + 2z.
Substituímos esse x na terceira equação:
-(2y+2z) + y + 2z = 0.
Agora desenvolvendo:
-2y -2z + y + 2z = 0 \implies -y = 0 \implies y = 0.