Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (x-2 y-2 z,-2 x+5 y+5 z,-x+y+2 z).
Determine B a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{22} vale:
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
(F) 3
(G) 4
(H) 5

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z) = (x-2y-2z,\;-2x+5y+5z,\;-x+y+2z).
Pede-se: determinar a matriz B que representa a inversa de T e, em particular, encontrar o valor da entrada b_{22}.
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes de T em cada componente (já escritos acima).

Passo 2

Escrevemos a matriz A que representa T na base canônica. Cada coluna de A é a imagem de um vetor da base canônica ou, equivalentemente, os coeficientes das expressões das componentes de T. Assim,
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2\\[4pt] -2 & 5 & 5\\[4pt] -1 & 1 & 2 \end{pmatrix},
porque T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.]

Passo 3

Explico uma propriedade útil (muito prática na prova): se B=A^{-1} então AB=I. Daí, a j-ésima coluna de B é a solução v do sistema linear
A v = e_j,
onde e_j é o j-ésimo vetor da base canônica. Ou seja, para encontrar a segunda coluna de B (coluna j=2) basta resolver A v = e_2. A razão: multiplicar A pela coluna j de B deve dar e_j (pois AB=I).

Passo 4

Vamos então resolver A v = e_2. Escrevemos v=(x,y,z)^T e e_2=(0,1,0)^T. O sistema é
\begin{cases} x - 2y - 2z = 0,\\[4pt] -2x + 5y + 5z = 1,\\[4pt] - x + y + 2z = 0. \end{cases}]

Passo 5

Resolvendo passo a passo. Da primeira equação isolamos x:
x = 2y + 2z.
Substituímos esse x na terceira equação:
-(2y+2z) + y + 2z = 0.
Agora desenvolvendo:
-2y -2z + y + 2z = 0 \implies -y = 0 \implies y = 0.

Passo 6

Com y=0, voltamos à expressão para x:
x = 2y + 2z = 2\cdot 0 + 2z = 2z.
Substituímos x=2z e y=0 na segunda equação:
-2(2z) + 5\cdot 0 + 5z = 1 \implies -4z + 5z = 1 \implies z = 1.
Logo x = 2z = 2. Assim a solução é
v = \begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Esse vetor v é a segunda coluna de B=A^{-1}.]

Passo 7

A entrada b_{22} é o elemento da segunda linha da segunda coluna de B, ou seja, o segundo componente de v. Portanto
b_{22} = 0.

Resposta

(C) 0

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