Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(-1,1) e \vec{v}=(-7,5). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(2,1) e [\vec{v}]_{\beta}=(4,1), então \vec{b}_{1} é:
(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -3\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -2\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -1\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 0\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 1\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{c}* \\\\ 2\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 3\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 4\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que identifiquemos qual opção corresponde a \vec{b}_{1}.
A base é \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} de \mathbb{R}^{2}.
\vec{u}=(-1,1) e \vec{v}=(-7,5).
As coordenadas desses vetores na base \beta são[\vec{u}]_{\beta}=(2,1)e[\vec{v}]_{\beta}=(4,1).
O enunciado pergunta qual é \vec{b}_{1}; as alternativas mostram vetores da forma \begin{pmatrix}*\c\end{pmatrix} com várias opções para c.
Passo 2
Entendendo o que significa "coordenadas na base \beta". Se [\vec{x}]_{\beta}=(\alpha,\beta), isso quer dizer que
\vec{x}=\alpha\,\vec{b}_{1}+\beta\,\vec{b}_{2}.
Aqui cada letra representa um número real (a coordenada) e \vec{b}_{1},\vec{b}_{2} são os vetores da base. Ou seja, as coordenadas são os coeficientes da combinação linear dos vetores da base que geram o vetor \vec{x}.
Fazer uma checagem rápida (útil na prova): usando \vec{b}_{1}=(-3,2) na primeira equação 2\vec{b}_{1}+\vec{b}_{2}=\vec{u} podemos resolver para \vec{b}_{2}: