Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(-1,1) e \vec{v}=(-7,5). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(2,1) e [\vec{v}]_{\beta}=(4,1), então \vec{b}_{1} é:
(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -3\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -2\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -1\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 0\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 1\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{c}* \\\\ 2\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 3\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que identifiquemos qual opção corresponde a \vec{b}_{1}.
  • A base é \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} de \mathbb{R}^{2}.
  • \vec{u}=(-1,1) e \vec{v}=(-7,5).
  • As coordenadas desses vetores na base \beta são [\vec{u}]_{\beta}=(2,1)e [\vec{v}]_{\beta}=(4,1).
  • O enunciado pergunta qual é \vec{b}_{1}; as alternativas mostram vetores da forma \begin{pmatrix}*\c\end{pmatrix} com várias opções para c.

Passo 2

Entendendo o que significa "coordenadas na base \beta". Se [\vec{x}]_{\beta}=(\alpha,\beta), isso quer dizer que
\vec{x}=\alpha\,\vec{b}_{1}+\beta\,\vec{b}_{2}.
Aqui cada letra representa um número real (a coordenada) e \vec{b}_{1},\vec{b}_{2} são os vetores da base. Ou seja, as coordenadas são os coeficientes da combinação linear dos vetores da base que geram o vetor \vec{x}.

Passo 3

Aplicando a definição aos vetores dados:
Como [\vec{u}]_{\beta}=(2,1), então
\vec{u}=2\vec{b}_{1}+1\vec{b}_{2}=2\vec{b}_{1}+\vec{b}_{2}.
Como [\vec{v}]_{\beta}=(4,1), então
\vec{v}=4\vec{b}_{1}+1\vec{b}_{2}=4\vec{b}_{1}+\vec{b}_{2}.

Passo 4

Agora temos um sistema de vetores (duas equações vetoriais):
2\vec{b}_{1}+\vec{b}_{2}=\vec{u},
4\vec{b}_{1}+\vec{b}_{2}=\vec{v}.
Uma forma prática de eliminar \vec{b}_{2} é subtrair a primeira equação da segunda. Subtraindo membro a membro:
(4\vec{b}_{1}+\vec{b}_{2})-(2\vec{b}_{1}+\vec{b}_{2})=\vec{v}-\vec{u}.

Passo 5

Ao fazer as subtrações dos lados esquerdo e direito obtemos:
4\vec{b}_{1}-2\vec{b}_{1}+\vec{b}_{2}-\vec{b}_{2}=\vec{v}-\vec{u},
ou seja
2\vec{b}_{1}=\vec{v}-\vec{u}.
Logo
\vec{b}_{1}=\tfrac{1}{2}(\vec{v}-\vec{u}).

Passo 6

Calculando \vec{v}-\vec{u} com os vetores numéricos dados:
\vec{v}-\vec{u}=(-7,5)-(-1,1)=(-7+1,\;5-1)=(-6,4).
Dividindo por 2,
\vec{b}_{1}=\tfrac{1}{2}(-6,4)=(-3,2).
Portanto \vec{b}_{1}=\begin{pmatrix}-3\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 7

Fazer uma checagem rápida (útil na prova): usando \vec{b}_{1}=(-3,2) na primeira equação 2\vec{b}_{1}+\vec{b}_{2}=\vec{u} podemos resolver para \vec{b}_{2}:
\vec{b}_{2}=\vec{u}-2\vec{b}_{1}=(-1,1)-2(-3,2)=(-1,1)-(-6,4)=(5,-3).
Verificando a segunda equação:
4\vec{b}_{1}+\vec{b}_{2}=4(-3,2)+(5,-3)=(-12,8)+(5,-3)=(-7,5)=\vec{v},
corrige. Tudo bate.

Resposta

(F) \displaystyle \begin{pmatrix}-3\\[4pt]2\end{pmatrix}]

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