Q18: Considere os subespaços de
:
Encontre o único vetor
da forma
. O valor de
é:
(A) -9
(B) -8
(C) -7
(D) -6
(E) -5
(F) -4
(G) -3
(H) -2
(A) -9
(B) -8
(C) -7
(D) -6
(E) -5
(F) -4
(G) -3
(H) -2
Passo 1
O enunciado dá os subespaços de
:
e
Pede-se encontrar o único vetor
que tem a forma
. A questão final apenas solicita o valor de
.
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Entendendo
: um vetor
pertence a
se e somente se
é ortogonal ao gerador de
. A ortogonalidade em
é dada pelo produto escalar (dot product). Para vetores
e
temos
Portanto, a condição de
é
Passo 3
Entendendo
: dizer que
significa que
é combinação linear dos vetores geradores de
. Então existem escalares
e
tais que
Vamos escrever as coordenadas de
em função de
e
. Calculando componente a componente:
Passo 4
Usamos a informação de que a primeira coordenada de
é
. Assim obtemos a equação
Passo 5
Agora impomos a condição de ortogonalidade
. Substituindo as coordenadas de
em termos de
e
obtemos:
Vamos simplificar termo a termo:
Agrupando os termos em
e
:
Logo
Passo 6
Resolvemos o sistema de duas equações lineares obtidas:
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira:
Então
.]
Passo 7
Com
e
calculamos a terceira coordenada de
:
Também podemos conferir rapidamente a segunda coordenada:
e a primeira coordenada ficou
como exigido. Além disso, verificando a ortogonalidade:
confirmando que
.