Q18: Considere os subespaços de \mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} H=\operatorname{span}\{(3,1,2),(2,1,3)\} \mathrm{e} \\\ M=\operatorname{span}\{(1,-7,1)\} \end{gathered}
Encontre o único vetor \vec{x} \in M^{\perp} \cap H da forma \vec{x}=\left(3, x_{2}, x_{3}\right). O valor de x_{3} é:
(A) -9
(B) -8
(C) -7
(D) -6
(E) -5
(F) -4
(G) -3
(H) -2

Passo 1

O enunciado dá os subespaços de \mathbb{R}^{3}:
H=\operatorname{span}\{(3,1,2),(2,1,3)\}
e
M=\operatorname{span}\{(1,-7,1)\}.
Pede-se encontrar o único vetor \vec{x}\in M^{\perp}\cap H que tem a forma \vec{x}=(3,x_{2},x_{3}). A questão final apenas solicita o valor de x_{3}.
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{Geradores de }H:\\ (3,1,2)\\ \text{e}\\ (2,1,3).\\\ &\text{Gerador de }M:\\ (1,-7,1).\\\ &\text{Procuramos } \vec{x}\in H\\ \text{e simultaneamente}\\ \vec{x}\cdot(1,-7,1)=0\text{ (pois }\vec{x}\in M^{\perp}\text{)},\\\ &\text{e com primeira coordenada }3,\\ \text{ou seja }\vec{x}=(3,x_{2},x_{3}). \end{aligned}

Passo 2

Entendendo M^{\perp}: um vetor \vec{x} pertence a M^{\perp} se e somente se \vec{x} é ortogonal ao gerador de M. A ortogonalidade em \mathbb{R}^{3} é dada pelo produto escalar (dot product). Para vetores \vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3}) e \vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}) temos
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}.
Portanto, a condição de \vec{x}\in M^{\perp} é
\vec{x}\cdot(1,-7,1)=0.

Passo 3

Entendendo H: dizer que \vec{x}\in H significa que \vec{x} é combinação linear dos vetores geradores de H. Então existem escalares a e b tais que
\vec{x}=a(3,1,2)+b(2,1,3).
Vamos escrever as coordenadas de \vec{x} em função de a e b. Calculando componente a componente:
\vec{x}=(3a+2b,\;a+b,\;2a+3b).

Passo 4

Usamos a informação de que a primeira coordenada de \vec{x} é 3. Assim obtemos a equação
3a+2b=3.

Passo 5

Agora impomos a condição de ortogonalidade \vec{x}\cdot(1,-7,1)=0. Substituindo as coordenadas de \vec{x} em termos de a e b obtemos:
(3a+2b)\cdot 1 + (a+b)\cdot(-7) + (2a+3b)\cdot 1 = 0.
Vamos simplificar termo a termo:
3a+2b -7a -7b +2a +3b = 0.
Agrupando os termos em a e b:
(3a-7a+2a) + (2b-7b+3b) = 0,
(-2a) + (-2b) = 0,
-2(a+b)=0.
Logo
a+b=0.

Passo 6

Resolvemos o sistema de duas equações lineares obtidas:
\begin{cases} 3a+2b=3,\\[4pt] a+b=0. \end{cases}
Da segunda equação vem b=-a. Substituindo na primeira:
3a+2(-a)=3 \implies 3a-2a=3 \implies a=3.
Então b=-3.]

Passo 7

Com a=3 e b=-3 calculamos a terceira coordenada de \vec{x}:
x_{3}=2a+3b = 2\cdot 3 + 3\cdot(-3) = 6 -9 = -3.
Também podemos conferir rapidamente a segunda coordenada:
x_{2}=a+b=3-3=0,
e a primeira coordenada ficou 3 como exigido. Além disso, verificando a ortogonalidade:
\vec{x}\cdot(1,-7,1)=3\cdot 1 + 0\cdot(-7) + (-3)\cdot 1 = 3-3=0,
confirmando que \vec{x}\in M^{\perp}.

Resposta

-3

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