O enunciado dá duas transformações em \mathbb{R}^2 e pede as matrizes associadas a cada uma. Mais precisamente:
Transformação 1: reflexão em relação ao eixo x, definida por \mathrm{R}(x,y)=(x,-y).
Transformação 2: cisalhamento horizontal, definida por S(x,y)=(x+2y,y).
O que é pedido: determinar a matriz associada a \mathrm{R} e a matriz associada a S, ambas no sistema de coordenadas padrão de \mathbb{R}^2.
Passo 2
Conceito prático (a ferramenta que vamos usar): para uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2, a matriz A que a representa na base padrão \{e_1,e_2\}, com e_1=(1,0) e e_2=(0,1), tem colunas dadas por T(e_1) e T(e_2). Ou seja, se
Verificação rápida (mostra que deu certo): multiplicando a matriz de \mathrm{R} por um vetor arbitrário (x,y) deve resultar em (x,-y). De fato,
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot x + 0\cdot y \\\\ 0\cdot x + (-1)\cdot y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\\\ -y \end{pmatrix},
Portanto as colunas da matriz de S são \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}. Assim obtemos
\text{matriz de } S = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.]
Passo 6
Verificação rápida para S: multiplicar a matriz por (x,y) deve dar (x+2y,y). De fato,
\begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot x + 2\cdot y \\\\ 0\cdot x + 1\cdot y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+2y \\\ y \end{pmatrix},
que coincide com S(x,y). Portanto a matriz está correta.