Considere as transformações lineares em R2:
  • Reflexão em relação ao eixo x :
\mathrm{R}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(\mathrm{x},-\mathrm{y})
  • Cisalhamento horizontal:
S(x, y)=(x+2 y, y)
Determine as matrizes associadas a R e S .

Passo 1

O enunciado dá duas transformações em \mathbb{R}^2 e pede as matrizes associadas a cada uma. Mais precisamente:
  • Transformação 1: reflexão em relação ao eixo x, definida por \mathrm{R}(x,y)=(x,-y).
  • Transformação 2: cisalhamento horizontal, definida por S(x,y)=(x+2y,y).
O que é pedido: determinar a matriz associada a \mathrm{R} e a matriz associada a S, ambas no sistema de coordenadas padrão de \mathbb{R}^2.

Passo 2

Conceito prático (a ferramenta que vamos usar): para uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2, a matriz A que a representa na base padrão \{e_1,e_2\}, com e_1=(1,0) e e_2=(0,1), tem colunas dadas por T(e_1) e T(e_2). Ou seja, se
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix},
então
A e_1 = \begin{pmatrix} a_{11} \\\ a_{21} \end{pmatrix} = T(e_1), \qquad A e_2 = \begin{pmatrix} a_{12} \\\ a_{22} \end{pmatrix} = T(e_2).
Esse é o jeito mais direto de achar a matriz: aplicar a transformação aos vetores (1,0) e (0,1) e colocar os resultados como colunas.

Passo 3

Aplique \mathrm{R} aos vetores da base padrão.
  • e_1=(1,0). Calculando \mathrm{R}(1,0)=(1,-0)=(1,0).
  • e_2=(0,1). Calculando \mathrm{R}(0,1)=(0,-1).
Portanto as colunas da matriz de \mathrm{R} são \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\\ -1\end{pmatrix}. Assim obtemos
\text{matriz de } \mathrm{R} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[4pt] 0 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Verificação rápida (mostra que deu certo): multiplicando a matriz de \mathrm{R} por um vetor arbitrário (x,y) deve resultar em (x,-y). De fato,
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot x + 0\cdot y \\\\ 0\cdot x + (-1)\cdot y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\\\ -y \end{pmatrix},
que coincide com \mathrm{R}(x,y).

Passo 5

Aplique S aos vetores da base padrão.
  • e_1=(1,0). Calculando S(1,0)=(1+2\cdot 0,0)=(1,0).
  • e_2=(0,1). Calculando S(0,1)=(0+2\cdot 1,1)=(2,1).
Portanto as colunas da matriz de S são \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}. Assim obtemos
\text{matriz de } S = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação rápida para S: multiplicar a matriz por (x,y) deve dar (x+2y,y). De fato,
\begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot x + 2\cdot y \\\\ 0\cdot x + 1\cdot y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+2y \\\ y \end{pmatrix},
que coincide com S(x,y). Portanto a matriz está correta.

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[4pt] 0 & -1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 2 \\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}]

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