Considere a rotação de ângulo 60^{\circ} no sentido anti-horário: \mathrm{T}: \mathrm{R} 2 \rightarrow \mathrm{R} 2.
a) Determine a matriz associada a T .
b) Verifique se T é um operador ortogonal.
c) Determine a imagem do vetor (1, \sqrt{3}).
Passo 1
O enunciado diz que temos a rotação de ângulo 60^\circ no sentido anti-horário, uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2. Ele pede três coisas:
(a) determinar a matriz associada a \mathrm{T} (na base padrão);
(b) verificar se \mathrm{T} é um operador ortogonal;
(c) determinar a imagem do vetor (1,\sqrt{3}) por \mathrm{T}.
Informações relevantes dadas:
Ângulo de rotação: 60^\circ (sentido anti-horário).
Vetor a transformar: (1,\sqrt{3}).
Passo 2
Primeiro vamos lembrar (e aprender) qual é a forma da matriz de uma rotação no plano. Para uma rotação de ângulo \theta no sentido anti-horário, a matriz na base canônica é
Explicando isso de forma simples: as colunas dessa matriz são as imagens dos vetores base (1,0) e (0,1). Girar (1,0) por \theta dá o vetor (\cos\theta,\sin\theta), e girar (0,1) por \theta dá (-\sin\theta,\cos\theta). Por isso aparecem esses \cos e \sin.
No nosso caso \theta=60^\circ. É útil passar para radianos se for necessário trabalhar com séries, mas aqui usamos valores exatos conhecidos:
Agora vamos verificar se \mathrm{T} (com matriz A=R(60^\circ)) é um operador ortogonal. Definição prática: uma matriz A é ortogonal se as colunas formam um conjunto ortonormal, o que é equivalente a
A^\top A = I,
onde A^\top é a transposta de A e I é a matriz identidade 2\times2. Outra propriedade útil: para matrizes ortogonais vale |\det A|=1. No caso de rotações, esperamos \det A=1.