Considere a rotação de ângulo 60^{\circ} no sentido anti-horário:
\mathrm{T}: \mathrm{R} 2 \rightarrow \mathrm{R} 2.
a) Determine a matriz associada a T .
b) Verifique se T é um operador ortogonal.
c) Determine a imagem do vetor (1, \sqrt{3}).

Passo 1

O enunciado diz que temos a rotação de ângulo 60^\circ no sentido anti-horário, uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2. Ele pede três coisas:
(a) determinar a matriz associada a \mathrm{T} (na base padrão);
(b) verificar se \mathrm{T} é um operador ortogonal;
(c) determinar a imagem do vetor (1,\sqrt{3}) por \mathrm{T}.
Informações relevantes dadas:
  • Ângulo de rotação: 60^\circ (sentido anti-horário).
  • Vetor a transformar: (1,\sqrt{3}).

Passo 2

Primeiro vamos lembrar (e aprender) qual é a forma da matriz de uma rotação no plano. Para uma rotação de ângulo \theta no sentido anti-horário, a matriz na base canônica é
R(\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.
Explicando isso de forma simples: as colunas dessa matriz são as imagens dos vetores base (1,0) e (0,1). Girar (1,0) por \theta dá o vetor (\cos\theta,\sin\theta), e girar (0,1) por \theta (-\sin\theta,\cos\theta). Por isso aparecem esses \cos e \sin.
No nosso caso \theta=60^\circ. É útil passar para radianos se for necessário trabalhar com séries, mas aqui usamos valores exatos conhecidos:
60^\circ=\frac{\pi}{3},\qquad \cos\frac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2},\qquad \sin\frac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.]

Passo 3

Substituindo \cos\theta e \sin\theta na fórmula da matriz de rotação com \theta=60^\circ, obtemos
R\!\left(60^\circ\right)= \begin{pmatrix} \cos 60^\circ & -\sin 60^\circ\\[4pt] \sin 60^\circ & \cos 60^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] \tfrac{\sqrt{3}}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
Isso responde a parte (a).]

Passo 4

Agora vamos verificar se \mathrm{T} (com matriz A=R(60^\circ)) é um operador ortogonal. Definição prática: uma matriz A é ortogonal se as colunas formam um conjunto ortonormal, o que é equivalente a
A^\top A = I,
onde A^\top é a transposta de A e I é a matriz identidade 2\times2. Outra propriedade útil: para matrizes ortogonais vale |\det A|=1. No caso de rotações, esperamos \det A=1.
Compute A^\top e A^\top A. A matriz é
A=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] \tfrac{\sqrt{3}}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}, \qquad A^\top=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & \tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] -\tfrac{\sqrt{3}}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
Multiplicando A^\top A, calculamos entrada a entrada:
  • Entrada (1,1):
\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} = \tfrac{1}{4} + \tfrac{3}{4} = 1.
  • Entrada (1,2):
\tfrac{1}{2}\cdot\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) + \tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\tfrac{1}{2} = -\tfrac{\sqrt{3}}{4} + \tfrac{\sqrt{3}}{4} = 0.
  • Entrada (2,1):
-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} = -\tfrac{\sqrt{3}}{4} + \tfrac{\sqrt{3}}{4} = 0.
  • Entrada (2,2):
-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) + \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{4} = 1.
Portanto
A^\top A = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=I.
Isso mostra que as colunas são ortonormais e que A é ortogonal.
Adicionalmente, calcular o determinante para confirmar orientação:
\det A = \left(\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right) - \left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \tfrac{1}{4} - \left(-\tfrac{3}{4}\right) = \tfrac{1}{4} + \tfrac{3}{4} = 1.
Como \det A=1, é uma rotação propriamente dita (ortogonal e com det +1).]

Passo 5

Agora vamos aplicar A ao vetor dado (1,\sqrt{3}). Multiplicação matriz-vetor:
A\begin{pmatrix}1\\[4pt]\sqrt{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] \tfrac{\sqrt{3}}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt]\sqrt{3}\end{pmatrix}.
Calcule componente a componente:
  • Primeira componente:
\tfrac{1}{2}\cdot 1 + \left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\cdot\sqrt{3} = \tfrac{1}{2} - \tfrac{(\sqrt{3})^2}{2} = \tfrac{1}{2} - \tfrac{3}{2} = -1.
  • Segunda componente:
\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1 + \tfrac{1}{2}\cdot\sqrt{3} = \tfrac{\sqrt{3}}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}.
Logo a imagem é o vetor (-1,\sqrt{3}).]

Resposta

(a) \displaystyle \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt]\tfrac{\sqrt{3}}{2} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}
(b) Sim. \mathrm{T} é ortogonal, pois A^\top A=I e \det A=1.
(c) \displaystyle (-1,\sqrt{3})]

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