a) Verifique se a aplicação
T: R^{2} \rightarrow R^{2} definida por T(x, y)=(x+y+1,2 y) é uma transformação linear.
b) Determine a lei da transformação linear \mathrm{T}: \mathrm{R}^{3} \rightarrow \mathrm{R}^{3} sabendo que:
\mathrm{T}(1,0,0)=(1,2,0), \mathrm{T}(0,1,0)=(0,1,1), e \mathrm{T}(0,0,1)=(2,0,1).
c) Determine T(1,2,3)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações fornecidas.
  • Pedido (a): Verificar se a aplicação T: \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2} definida por T(x,y)=(x+y+1,\,2y) é uma transformação linear.
  • Pedido (b): Determinar a lei da transformação linear T: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} sabendo que T(1,0,0)=(1,2,0),\qquad T(0,1,0)=(0,1,1),\qquad T(0,0,1)=(2,0,1).
  • Pedido (c): Calcular T(1,2,3) (presumivelmente da transformação do item (b)).
Informações dadas: a fórmula explícita de T no item (a) e as imagens dos vetores canônicos em \mathbb{R}^{3} no item (b).

Passo 2

O que significa “transformação linear” (uma mini-aula para garantir que não haja dúvida).
  • Uma aplicação T é linear se, para quaisquer vetores u,v e qualquer escalar c, valem as duas propriedades: T(u+v)=T(u)+T(v)e T(c\,u)=c\,T(u).
  • Uma consequência imediata dessas propriedades é que o vetor zero precisa ser enviado no vetor zero: T(0)=T(0\cdot u)=0\cdot T(u)=0.Ou seja, todo operador linear satisfaz T(0)=0. Essa é uma verificação rápida e muito útil para detectar não linearidade: se T(0)\neq 0, então T não é linear.

Passo 3

Aplicando a ideia acima ao item (a): calcule T(0,0).
  • Substituindo (x,y)=(0,0) em T(x,y)=(x+y+1,\,2y), obtemos T(0,0)=(0+0+1,\,2\cdot 0)=(1,0).
  • Pela propriedade citada, se T fosse linear deveríamos ter T(0,0)=(0,0). Mas encontramos T(0,0)=(1,0)\neq(0,0).

Passo 4

Conclusão para (a) com explicação didática e curta.
  • Como T(0,0)\neq(0,0), a aplicação T(x,y)=(x+y+1,\,2y) viola a propriedade necessária T(0)=0. Portanto T NÃO é linear.
  • Observação intuitiva: o termo constante +1 no primeiro componente é o que “quebra” a linearidade — transformações lineares não podem introduzir constantes independentes das coordenadas.

Passo 5

Agora o item (b): como construir a lei geral de uma transformação linear a partir das imagens dos vetores da base.
  • Em \mathbb{R}^{3} os vetores canônicos e_{1}=(1,0,0),\qquad e_{2}=(0,1,0),\qquad e_{3}=(0,0,1)formam uma base. Qualquer vetor (x,y,z) pode ser escrito como combinação linear (x,y,z)=x\,e_{1}+y\,e_{2}+z\,e_{3}.
  • Se T é linear, então usando linearidade: T(x,y,z)=T(x\,e_{1}+y\,e_{2}+z\,e_{3})=x\,T(e_{1})+y\,T(e_{2})+z\,T(e_{3}).
  • Como o enunciado nos deu T(e_{1}), T(e_{2}) e T(e_{3}), podemos obter a fórmula de T(x,y,z) somando essas combinações.

Passo 6

Computar explicitamente T(x,y,z) usando os vetores fornecidos.
  • Substituindo as imagens dadas: T(x,y,z)=x\,(1,2,0)+y\,(0,1,1)+z\,(2,0,1).
  • Somando coordenada a coordenada: \begin{aligned} \text{1ª coord.} &= x\cdot 1 + y\cdot 0 + z\cdot 2 = x+2z,\\[4pt] \text{2ª coord.} &= x\cdot 2 + y\cdot 1 + z\cdot 0 = 2x+y,\\[4pt] \text{3ª coord.} &= x\cdot 0 + y\cdot 1 + z\cdot 1 = y+z. \end{aligned}ªªª
  • Assim obtemos a lei geral: T(x,y,z)=(\,x+2z,\;2x+y,\;y+z\,).]

Passo 7

Representação matricial (útil e rápida para aplicar a transformação a vetores concretos).
  • A matriz da transformação T na base canônica tem colunas T(e_{1}),T(e_{2}),T(e_{3}), logo A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
  • Para qualquer vetor v=(x,y,z) em forma coluna, T(v)=A\,v. Isso é apenas outra forma de ver a mesma fórmula do passo anterior.]

Passo 8

Item (c): calcular T(1,2,3) aplicando a fórmula obtida.
  • Usando T(x,y,z)=(x+2z,\,2x+y,\,y+z) com x=1,\;y=2,\;z=3: \begin{aligned} \text{1ª coord.} &= 1 + 2\cdot 3 = 1 + 6 = 7,\\[4pt] \text{2ª coord.} &= 2\cdot 1 + 2 = 2 + 2 = 4,\\[4pt] \text{3ª coord.} &= 2 + 3 = 5. \end{aligned}ªªª
  • Portanto T(1,2,3)=(7,4,5).]

Resposta

(a) Não é linear.
(b) T(x,y,z)=(x+2z,\,2x+y,\,y+z).
(c) T(1,2,3)=(7,4,5).

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