Para a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida por:
T\binom{a}{b}=\left(\begin{array}{c} a+2 b \\\\ -a \\\ b \end{array}\right)
encontre a matriz da transformação [T]_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}} em relação às bases:
\mathcal{B}=\left\{\binom{1}{2},\binom{3}{-1}\right\} \quad \text { e } \quad \mathcal{C}=\left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right)\right\}

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por
T\binom{a}{b}=\begin{pmatrix}a+2b\\\ -a\b\end{pmatrix},
as bases
\mathcal{B}=\left\{\binom{1}{2},\binom{3}{-1}\right\}\quad\text{em }\mathbb{R}^2
e
\mathcal{C}=\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}\right\}\quad\text{em }\mathbb{R}^3.
A pergunta é: encontre a matriz [T]_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}, ou seja, a matriz que representa T cujo domínio é descrito pela base \mathcal{B} e o contradomínio pela base \mathcal{C}.

Passo 2

O que significa construir [T]_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}? Aqui a regra prática (e muito útil na prova) é:
  • a j-ésima coluna de [T]_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} é o vetor coordenadas de T(b_j) em relação à base \mathcal{C},
    ou seja,
[T]_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}=\big[\,[T(b_1)]_{\mathcal{C}}\;\;[T(b_2)]_{\mathcal{C}}\big].
Vou aplicar isso com b_1 e b_2 dados.

Passo 3

Anotando explicitamente os vetores de \mathcal{B}:
b_1=\binom{1}{2},\qquad b_2=\binom{3}{-1}.

Passo 4

Calcule T(b_1). Substituo a=1 e b=2 em T:
T\binom{1}{2}=\begin{pmatrix}1+2\cdot 2\\\\ -1\\\\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+4\\\\ -1\\\\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\\ -1\\\ 2\end{pmatrix}.
Expliquei passo a passo: primeiro calculei a+2b=1+4=5, depois -a=-1, por fim b=2.

Passo 5

Calcule T(b_2). Substituo a=3 e b=-1:
T\binom{3}{-1}=\begin{pmatrix}3+2\cdot(-1)\\\\ -3\\\\ -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3-2\\\\ -3\\\\ -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\\ -3\\\ -1\end{pmatrix}.
Detalhe: a+2b=3+2(-1)=3-2=1, -a=-3, b=-1.

Passo 6

Agora preciso representar T(b_1) e T(b_2) em coordenadas na base \mathcal{C}. Como \mathcal{C} é a base canônica de \mathbb{R}^3, o vetor coordenadas de um vetor é justamente o próprio vetor coluna com suas entradas. Assim:
[T(b_1)]_{\mathcal{C}}=\begin{pmatrix}5\\\ -1\\\ 2\end{pmatrix},\qquad [T(b_2)]_{\mathcal{C}}=\begin{pmatrix}1\\\ -3\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 7

Monto a matriz [T]_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} com essas colunas, na ordem dos vetores de \mathcal{B}:
[T]_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}5 & 1\\\\ -1 & -3\\\\ 2 & -1\end{pmatrix}.

Resposta

\begin{pmatrix}5 & 1\\\\ -1 & -3\\\\ 2 & -1\end{pmatrix}

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