Base do domínio (ordem importante): \mathcal{B}=\{x^{2},\,x,\,1\}. Isso significa que a primeira coluna da matriz virá da imagem de x^{2}, a segunda da imagem de x, a terceira da imagem de 1.\n
Base do contradomínio (ordem importante): \mathcal{C}=\left\{\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}\right\}. Vamos representar cada T(b_j) como combinação linear dessas duas colunas para obter as coordenadas.]
Passo 2
Qual é o procedimento geral (explicação passo a passo do conceito):\n
Regra: para uma transformação linear T, a matriz [T]_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} tem como j-ésima coluna as coordenadas de T(b_j) na base \mathcal{C}, onde b_j é o j-ésimo vetor da base \mathcal{B}.\n
Coordenadas na base \mathcal{C}: dado um vetor v\in\mathbb{R}^2, procuramos escalares a,b tais que
v = a\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a+b\\[2pt]b\end{pmatrix}.
Então (a,b) são as coordenadas de v em relação a \mathcal{C}. Vou resolver esse sistema para cada v=T(b_j).]
Passo 3
Calcular T(x^{2})\) e suas coordenadas na base \(\mathcal{C}\):\n
- Primeiro, avaliamos \(x^{2}\) em \(0\) e em \(1\):
\[T(x^{2})=\begin{pmatrix}x^{2}\big|_{x=0}\\[4pt]x^{2}\big|_{x=1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Agora escrevemos \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix} como combinação da base \mathcal{C}:
Repetimos a decomposição anterior; é exatamente o mesmo vetor que no passo anterior, então o sistema e a solução são os mesmos: b=1, a=-1. Portanto as coordenadas de T(x) em \mathcal{C} também são (-1,\,1). Essa será a segunda coluna da matriz.]
Passo 5
Calcular T(1)\) e suas coordenadas na base \(\mathcal{C}\):\n
- Avaliando:
\[T(1)=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Se pegarmos um polinômio genérico p(x)=\alpha x^{2}+\beta x+\gamma (coordenadas (\alpha,\beta,\gamma) na base \mathcal{B}), então aplicar a matriz deve dar as coordenadas de T(p) em \mathcal{C}. Multiplicando,