Para a transformação linear T: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por:
T(p(x))=\binom{p(0)}{p(1)}
encontre a matriz da transformação [T]_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}} em relação às bases:
\mathcal{B}=\left\{x^{2}, x, 1\right\} \quad \text { e } \quad \mathcal{C}=\left\{\binom{1}{0},\binom{1}{1}\right\}

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado:\n
  • Pede: encontrar a matriz da transformação linear [T]_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}.\n
  • Definição da transformação: T: P_{2}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^2 dada por
T(p(x))=\begin{pmatrix}p(0)\\[4pt]p(1)\end{pmatrix}.
  • Base do domínio (ordem importante): \mathcal{B}=\{x^{2},\,x,\,1\}. Isso significa que a primeira coluna da matriz virá da imagem de x^{2}, a segunda da imagem de x, a terceira da imagem de 1.\n
  • Base do contradomínio (ordem importante): \mathcal{C}=\left\{\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}\right\}. Vamos representar cada T(b_j) como combinação linear dessas duas colunas para obter as coordenadas.]

Passo 2

Qual é o procedimento geral (explicação passo a passo do conceito):\n
  • Regra: para uma transformação linear T, a matriz [T]_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} tem como j-ésima coluna as coordenadas de T(b_j) na base \mathcal{C}, onde b_j é o j-ésimo vetor da base \mathcal{B}.\n
  • Coordenadas na base \mathcal{C}: dado um vetor v\in\mathbb{R}^2, procuramos escalares a,b tais que
v = a\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a+b\\[2pt]b\end{pmatrix}.
Então (a,b) são as coordenadas de v em relação a \mathcal{C}. Vou resolver esse sistema para cada v=T(b_j).]

Passo 3

Calcular T(x^{2})\) e suas coordenadas na base \(\mathcal{C}\):\n - Primeiro, avaliamos \(x^{2}\) em \(0\) e em \(1\): \[T(x^{2})=\begin{pmatrix}x^{2}\big|_{x=0}\\[4pt]x^{2}\big|_{x=1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}.
  • Agora escrevemos \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix} como combinação da base \mathcal{C}:
\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a+b\\[2pt]b\end{pmatrix}.
Comparando coordenadas obtemos o sistema
\begin{cases} a+b=0,\\[4pt] b=1. \end{cases}
Logo b=1\] e \(a=-1. Portanto as coordenadas de T(x^{2}) em \mathcal{C} são (-1,\,1). Essa será a primeira coluna da matriz.]

Passo 4

Calcular T(x) e suas coordenadas na base \mathcal{C}:\n
  • Avaliando:
T(x)=\begin{pmatrix}x\big|_{x=0}\\[4pt]x\big|_{x=1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}.
  • Repetimos a decomposição anterior; é exatamente o mesmo vetor que no passo anterior, então o sistema e a solução são os mesmos: b=1, a=-1. Portanto as coordenadas de T(x) em \mathcal{C} também são (-1,\,1). Essa será a segunda coluna da matriz.]

Passo 5

Calcular T(1)\) e suas coordenadas na base \(\mathcal{C}\):\n - Avaliando: \[T(1)=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
  • Escrevemos como combinação:
\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a+b\\[2pt]b\end{pmatrix}.
Comparando,
\begin{cases} a+b=1,\\[4pt] b=1. \end{cases}
Logo b=1\] e \(a=0. Assim as coordenadas de T(1) em \mathcal{C} são (0,\,1). Essa será a terceira coluna da matriz.]

Passo 6

Montar a matriz final juntando as colunas (na ordem dos vetores de \mathcal{B}):\n
  • Primeira coluna = coordenadas de T(x^{2}) = (-1,\,1).\n
  • Segunda coluna = coordenadas de T(x) = (-1,\,1).\n
  • Terceira coluna = coordenadas de T(1) = (0,\,1).\n
    Logo a matriz é
[T]_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Checagem rápida (opcional e pedagógica):\n
  • Se pegarmos um polinômio genérico p(x)=\alpha x^{2}+\beta x+\gamma (coordenadas (\alpha,\beta,\gamma) na base \mathcal{B}), então aplicar a matriz deve dar as coordenadas de T(p) em \mathcal{C}. Multiplicando,
\begin{pmatrix} -1 & -1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha\\[2pt]\beta\\[2pt]\gamma\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\alpha-\beta\\[4pt]\alpha+\beta+\gamma\end{pmatrix},
o que corresponde ao vetor em \mathbb{R}^2
-\alpha-\beta\;\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix} + (\alpha+\beta+\gamma)\;\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\gamma\\[2pt]\alpha+\beta+\gamma\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}p(0)\\[2pt]p(1)\end{pmatrix},
confirmando que a matriz está correta. Vai dar tudo certo na prova — respira, você entendeu o processo.]

Resposta

[T]_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}]

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