Considere a transformada da resposta ao impulso de um sistema linear invariante no tempo dada por
a) Determine a saída do sistema para a entrada .
Passo 1
Beleza, aqui o que a questão manda é: a gente tem um sistema LTI cuja função de transferência no domínio da frequência é
e a entrada
O conteúdo é Transformada de Fourier e resposta em frequência de sistemas LTI. Para resolver precisamos:
Calcular a TF de ,
Multiplicar por para achar ,
Fazer a transformada inversa pra chegar em .
Tudo passo a passo, sem pular nada, e explicando a teoria.
Passo 2
Primeiro simplificamos usando a identidade de produto seno-cosseno:
Aqui , , então
Multiplicando por 20:
Logo
Passo 3
Agora precisamos da Transformada de Fourier de cada termo:
A constante 10 gera
O termo tem TF
O termo dá
Somando,
Passo 4
Em LTI, . Como é soma de deltas, basta avaliar nos pontos:
em : .
em : .
em : .
em : .
em : .
Então
Passo 5
Fazendo a transformada inversa de cada termo, voltamos pra soma de senos e constantes. Usamos que vira , mas como estamos em senos, reaplicamos a relação usual. No final obtém-se: