Considere a transformada da resposta ao impulso de um sistema linear invariante no tempo dada por
H(j omega)=G1(omega+10)+G1(omega-10)
a) Determine a saída y(t) do sistema para a entrada x(t)=10+20 sen(3 t) cos (7 t).

Passo 1

Beleza, aqui o que a questão manda é: a gente tem um sistema LTI cuja função de transferência no domínio da frequência é
H(jomega)=G1(omega+10)+G1(omega-10),,
e a entrada
x(t)=10+20sin(3t)cos(7t),
O conteúdo é Transformada de Fourier e resposta em frequência de sistemas LTI. Para resolver precisamos:
  1. Calcular a TF de ,
  2. Multiplicar por para achar ,
  3. Fazer a transformada inversa pra chegar em .
    Tudo passo a passo, sem pular nada, e explicando a teoria.

Passo 2

Primeiro simplificamos sin Acos B = tfrac12l[sin(A+B)+sin(A-B)r] usando a identidade de produto seno-cosseno:
sin(3t)cos(7t) =tfrac12l[sin(10t)+sin(-4t)r] =tfrac12l[sin(10t)-sin(4t)r]
Aqui 20,sin(3t)cos(7t) =10,sin(10t)-10,sin(4t) , x(t) =10 + 10sin(10t) - 10sin(4t) , então
Multiplicando por 20:
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Passo 3

Agora precisamos da Transformada de Fourier de cada termo:
  1. A constante 10 gera
    10sin(10t) =10e^j10t-e^-j10t2j ;longrightarrow; X1(jomega) =102j,2pil[de
  2. O termo -10sin(4t) =-10e^j4t-e^-j4t2j ;longrightarrow; X2(jomega) =-102j,2pil[de tem TF
X(jomega) =10cdot2pi,de
  1. O termo
Somando,

Passo 4

Em LTI, Y(jomega) =2pil[G1(10)+G1(-10)r],10,de. Como -102j2pil[H(j4),de é soma de deltas, basta avaliar nos pontos:
  • em : .
  • em : .
  • em : .
  • em : .
  • em : .
Então

Passo 5

Fazendo a transformada inversa de cada termo, voltamos pra soma de senos e constantes. Usamos que
y(t) =10l[G1(10)+G1(-10)r] ;+;10,l|H(j10)r|, sinl(10t+arg H(j10)r) ;-;10,l|H(j4)r|, sinl(4t+arg H(j4)r), vira H(j10)=G1(20)+G1(0), H(j4)=G1(14)+G1(-6), , mas como estamos em senos, reaplicamos a relação usual. No final obtém-se:
onde
e as fases vêm das partes-imaginárias delas.

Resposta

boxed y(t) =10l[G1(10)+G1(-10)r] ;+;10l[G1(20)+G1(0)r], sinl(10t+argG1(20)+G1(0)r) ;-;10l[G1(14)+G1(-6)r], sinl(4t+argG1(14)+G1(-6)r) ,
Esse é o em função do filtro-base .

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