Determine o valor das integrais
c) integral-infty^+infty sinc^3(t) d t

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é calcular a integral
Isso faz parte de Transformadas de Fourier e Propriedades de Convolução. Vamos usar:
  1. A definição de sinc (aqui assumimos a usual em sinais)
  2. A propriedade “integral de integral-infty^+infty l[sinc(t)r]^3,dt é o valor da sua TF em zero”:
  3. Que multiplicação no tempo vira convolução na frequência.

Passo 2

Primeiro, qual é a TF de ?
Definindo
X(f)=integral-infty^infty x(t)e^-j2pi f tdt,
fica conhecido que
onde
para sinc(t) xrightarrow F rect(f), e zero caso contrário.

Passo 3

Como , na frequência isso vira
Sabendo que
(função triangular de base Fsinc^3(t) = rect(f)*rect(f)*rect(f) , pico 1)
e depois dá um “triangular convoluído com retângulo”.

Passo 4

Para achar basta calcular essa TF em integral-infty^inftysinc^3(t),dt = l[rect*rect*rectr]!(0) :
Primeiro , que vale (Lambda*rect)(0) =integral-infty^+inftyLambda(nu),rect(-nu),dnu =integral-1/2^1/2l(1-|nu|r),dnu para integral-1/2^1/2(1-|nu|),dnu =2integral0^1/2(1-nu),dnu =2l[nu-tfracnu^22r]0^1/2 =2l(tfrac12-tfrac18r) =2cdottfrac38 =tfrac34 .
Depois
Agora basta integrar:

Resposta

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