Seja a X(e^j omega) a tranformada de Fourier de x[n] e Y(e^j omega) a tranformada de Fourier de y[n]. Determine a resposta em frequência H(e^j omega)=Y(e^j omega) / X(e^j omega) associada a equação de diferença
y[n]-34 y[n-1]+18 y[n-2]=2 x[n]
Dica: use a propriedade x[n-n0] stackrelF Tlong<=ftrightarrow e^-j omega n0 X(e^j omega).

Passo 1

Beleza, a questão diz que temos uma equação de diferença
y[n]-tfrac34,y[n-1]+tfrac18,y[n-2]=2,x[n],
e que H(e^jomega)=Y(e^jomega)X(e^jomega) e x[n-n0]x<=ftrightarrowFTe^-jomega n0X(e^jomega) são as transformadas de Fourier de e . A gente precisa achar a resposta em frequência
Conteúdo: transformada de Fourier de sinais discretos e a propriedade de deslocamento no tempo

Vamos usar algebra simples pra isolar e dividir por .

Passo 2

Aplicando a transformada de Fourier em cada termo da equação de diferença:
  1. Y(e^jomega)-tfrac34e^-jomegaY(e^jomega)+tfrac18e^-2jomegaY(e^jomega)=2,X(e^jomega).
  2. .
  3. .
  4. .
    Então a transformada da equação vira

Passo 3

Agora a gente fatora Y(e^jomega)l[1-tfrac34e^-jomega+tfrac18e^-2jomegar]=2,X(e^jomega) no lado esquerdo:
H(e^jomega)=Y(e^jomega)X(e^jomega) =21-tfrac34e^-jomega+tfrac18e^-2jomega
Dividindo ambos os lados por e pelo polinômio em colchetes, chega-se a
$$H(e{j\omega})=\frac{Y(e{j\omega})}{X(e^{j\omega})}
=\frac{2}{1-\tfrac{3}{4}e{-j\omega}+\tfrac{1}{8}e{-2j\omega}}.$$

Resposta

H(e^jomega) =21-tfrac34e^-jomega+tfrac18e^-2jomega

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