Considere um transformador com duas bobinas: a primária, de resistência R_{1} e indutância L_{1}, e a secundária, de resistência R_{2} e indutância L_{2}. Quando se aplica uma fonte na bobina primária, produz-se uma corrente I_{1}, e na bobina secundária, induz-se uma corrente I_{2}. Ao desligar a fonte, ambas as correntes decrescem gradualmente, obedecendo às equações:
onde M é a indutância mútua entre as bobinas e todas as constantes M, L_{1}, L_{2}, R_{1} e R_{2} são positivas.
(a) Escreva as equações do transformador como equações de evolução de um sistema dinâmico linear e determine a matriz associada ao sistema.
(b) Para um transformador real, M^{2}<L_{1} L_{2}. Qual será o tipo de ponto de equilíbrio do sistema se L_{1}=2, L_{2}=8, M=3, R_{1}=1 e R_{2}=2 (usando unidades que resultem em valores entre 0 e 10)? Determine também o tipo de ponto de equilíbrio.
(c) Faça o retrato de fase do sistema considerando os valores da alínea anterior.
(d) Considere os valores L_{1}=2, L_{2}=8, M=5, R_{1}=1 e R_{2}=2. Esse caso hipotético não corresponde a um transformador real porque M^{2}>L_{1} L_{2}. Qual seria o tipo de ponto de equilíbrio nesse cenário? Explique por que esse sistema não representa um transformador físico.
Passo 1
O enunciado dá um transformador com duas bobinas com as constantes positivas L_{1},L_{2},M,R_{1},R_{2} e fornece as equações diferenciais, após desligar a fonte:
(a) Colocar essas equações na forma de um sistema dinâmico linear \dot{x}=Ax e determinar a matriz A.
(b) Para L_{1}=2,\;L_{2}=8,\;M=3,\;R_{1}=1,\;R_{2}=2: determinar o tipo do ponto de equilíbrio (origem).
(c) Fazer o retrato de fase do sistema com os valores da alínea (b).
(d) Repetir a classificação do ponto de equilíbrio para L_{1}=2,\;L_{2}=8,\;M=5,\;R_{1}=1,\;R_{2}=2 e explicar por que esse caso é fisicamente impossível (se for o caso).
Informações relevantes listadas:
\text{variáveis: }I_{1}(t),\;I_{2}(t).
\text{matriz de indutâncias }L=\begin{pmatrix}L_{1}&M\\[4pt]M&L_{2}\end{pmatrix}.
Assumiremos que \det L = L_{1}L_{2}-M^{2}\neq 0 quando necessário para inverter L.]
Passo 2
Transformar o sistema nas notações matriciais padrão. Defina o vetor de estado
x=\begin{pmatrix}I_{1}\\[4pt]I_{2}\end{pmatrix}.
As equações dadas escrevem-se em forma matricial como
Esta é a matriz do sistema em termos das constantes do problema. Observação didática rápida: a inversão de L foi possível porque precisamos escrever \dot{x}; fisicamente L representa a relação entre fluxos e correntes e normalmente é positiva definida (energia magnética positiva) quando M^{2}<L_{1}L_{2}.]
ambos reais e negativos. Portanto o ponto de equilíbrio na origem é um nó assintoticamente estável (nó próprio, sink). Didática: dois autovalores reais e distintos de mesmo sinal negativo → soluções exponenciais reais que decaem com taxas diferentes; não há oscilações porque não há parte imaginária.
Passo 6
Encontrar autovetores para esboçar o retrato de fase. Para autovalor \lambda resolvemos (A-\lambda I)v=0. Usando a fórmula para a segunda componente em função da primeira:
Interpretação física-matemática didática: as direções dos autovetores são as direções invariantes do fluxo; como \lambda_{2} é mais negativo (mais rápido), as componentes na direção v^{(2)} decaem mais rapidamente, e as trajetórias acabam alinhando-se com o autovetor associado a \lambda_{1} (o de menor magnitude absoluto) antes de convergir lentamente ao zero.]
Passo 7
Desenho qualitativo do retrato de fase (item (c)) usando as informações anteriores. Como ambos os autovalores são reais e negativos:
A origem é um nó estável (sink).
Eixos-chave: as duas retas que passam pela origem com declives aproximados \dfrac{I_{2}}{I_{1}}\approx 1,1157 (direção do autovetor lento) e \dfrac{I_{2}}{I_{1}}\approx -0,44882 (direção do autovetor rápido).
Trajetórias: para condições iniciais genéricas, as soluções movem-se em curvas que são “puxadas” primeiro na direção do autovetor rápido (decai rapidamente) e, à medida que o componente rápido desaparece, aproximam-se da direção do autovetor lento, decaindo lentamente ao longo dela até o equilíbrio na origem.
Todas as setas apontam para a origem (dissipação através das resistências), sem oscilações.
Passo 8
Agora o item (d): usar L_{1}=2,\;L_{2}=8,\;M=5,\;R_{1}=1,\;R_{2}=2. Primeiro calcule D:
D=L_{1}L_{2}-M^{2}=2\cdot 8-5^{2}=16-25=-9.
Aqui D<0. Ainda que D\neq 0, a fórmula de A vale numericamente; substituindo obtemos
Determinante negativa implica autovalores reais de sinais opostos → origem é um sela (saddle), logo instável. Assim o equilíbrio é um ponto-nó tipo sela (saddle point), com soluções que crescem exponencialmente em uma direção (autovalor positivo), e decaem em outra (autovalor negativo).]
Passo 9
Explicação física do porquê este caso não representa um transformador real. A matriz L representa as indutâncias e a energia magnética armazenada no acoplamento de bobinas é
Para que essa energia seja positiva para todos os vetores de corrente (I_{1},I_{2}) é necessário e suficiente que L seja definida positiva, o que requer L_{1}>0,\;L_{2}>0 e M^{2}<L_{1}L_{2}. Se M^{2}>L_{1}L_{2} (como no caso com M=5) a energia pode ser negativa para algumas combinações de correntes: isto é fisicamente impossível para um dispositivo passivo que armazena energia magnética. Matematicamente, essa condição leva a comportamentos instáveis (autovalores com sinal positivo) — o que contradiz a natureza dissipativa de um transformador com resistências positivas. Portanto o sistema com M^{2}>L_{1}L_{2} não corresponde a um transformador físico.]
(b) Para L_{1}=2,\;L_{2}=8,\;M=3,\;R_{1}=1,\;R_{2}=2: autovalores \lambda_{1}\approx -0{,}18708, \lambda_{2}\approx -1{,}52720. O equilíbrio na origem é um nó assintoticamente estável (sink).
(c) Retrato de fase: nó estável. Autovetores aproximados com inclinações \dfrac{I_{2}}{I_{1}}\approx 1{,}1157 (direção lenta) e \dfrac{I_{2}}{I_{1}}\approx -0{,}44882 (direção rápida). Trajetórias entram para a origem, aproximando-se assintoticamente da direção do autovetor associado ao autovalor de menor módulo.
(d) Para L_{1}=2,\;L_{2}=8,\;M=5,\;R_{1}=1,\;R_{2}=2: D<0, \det A<0 → autovalores reais com sinais opostos → o equilíbrio é uma sela (saddle), instável. Este caso é fisicamente impossível para um transformador passivo porque M^{2}>L_{1}L_{2} torna a matriz de indutâncias não-definida-positiva, permitindo energia magnética negativa para algumas correntes.]