No sistema dinâmico com equações de evolução:
onde
é um parâmetro real que pode assumir qualquer valor entre
. Determine os intervalos de valores de
nos quais o ponto de equilíbrio (
) pode ser: nó (estável ou instável), foco (estável ou instável), centro e ponto de sela.
Passo 1
O enunciado fornece o sistema dinâmico
onde
é parâmetro. O ponto de equilíbrio a ser estudado é
.
As perguntas que preciso responder são: para quais intervalos de o ponto
é
As perguntas que preciso responder são: para quais intervalos de
- nó (estável ou instável),
- foco (estável ou instável),
- centro,
- ponto de sela.
Vou listar também as informações relevantes dadas pelo enunciado: o sistema é linear (ou seja, a linearização é o próprio sistema), o parâmetro é
e o equilíbrio é na origem.]
Passo 2
Escrevo a matriz associada ao sistema (a matriz do sistema linear
, com
). Das equações temos:
Calculo o traço
e o determinante
da matriz
:
Passo 3
Explico a teoria necessária (passo-a-passo, sem pular etapas):
- Para uma matriz
com autovalores , a equação característica é
onde
é o traço e
o determinante. As propriedades dos autovalores determinam o tipo do equilíbrio:
- Se
então os autovalores têm sinais opostos (produto negativo) → ponto de sela (sempre instável). - Se
e o discriminante então os autovalores são reais e têm o mesmo sinal. O sinal é dado por : se são ambos negativos → nó estável; se são ambos positivos → nó instável. - Se
e então os autovalores são complexos conjugados . O sinal de determina estabilidade: foco estável, foco instável. Se (ou seja ) e então os autovalores são puramente imaginários → centro (neutro, no caso linear). - Portanto, para classificar precisamos analisar o sinal de
, o sinal do discriminante e o sinal do traço .
Passo 4
Calculando explicitamente o polinômio e o discriminante para o nosso sistema:
Resolvo
para obter os valores críticos de
:
Logo os pontos críticos do discriminante são
Numericamente,
e
.
Também note que zera em
, outro valor relevante (determinante muda de sinal aí).
Também note que
Passo 5
Caso
. Como
, temos
quando
Neste caso os autovalores têm sinais opostos e o ponto de equilíbrio é um ponto de sela (saddle), sempre instável. Conclusão:
Passo 6
Agora considere
, isto é
. Nessa região precisamos ver o sinal de
para decidir entre autovalores reais ou complexos.
- Se
(autovalores reais): isso ocorre fora do intervalo , ou seja para ou , desde que também . - Em
temos e além disso (pois ), então . Com e os dois autovalores são reais e negativos → nó estável (atrator nodal). - Em
temos e , logo ambos autovalores reais e positivos → nó instável (repulsor nodal).
- Em
Passo 7
- Se
(autovalores complexos conjugados): isso ocorre para
Nessa sub-região
(pois
), então os autovalores são
. O sinal da parte real
determina estabilidade:
- Para
temos parte real negativa → foco estável. - Para
temos parte real positiva → foco instável.
Passo 8
Caso particular
. Aqui
e
, então os autovalores são puramente imaginários
. Como o sistema é linear, isso caracteriza um centro linear (órbitas fechadas neutrally stable). Conclusão:
Passo 9
Resumindo os intervalos abertos (os limites com igualdade são casos degenerados que merecem comentário, por exemplo
faz
e
dão autovalor duplo real):
- Para
: sela (instável). - Para
: nó estável. - Para
: foco estável. - Para
: centro. - Para
: foco instável. - Para
: nó instável.
Passo 10
Observações finais sobre os casos degenerados (curta explicação):
- Em
temos , autovalores são e : sistema não-hyperbólico, comportamento degenerado (uma direção neutra). - Em
ou temos autovalor real duplo; também caso degenerado (nó degenerado; precisa analisar forma de Jordan para classificar completamente).