No sistema dinâmico com equações de evolução:
\left\{\begin{array}{l} \dot{x}=-y \\\ \dot{y}=10 x+k(x+y) \end{array}\right.
onde k é um parâmetro real que pode assumir qualquer valor entre -\infty \mathrm{e}+\infty. Determine os intervalos de valores de k nos quais o ponto de equilíbrio ( x=0, y=0 ) pode ser: nó (estável ou instável), foco (estável ou instável), centro e ponto de sela.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema dinâmico
\left\{\begin{array}{l} \dot{x}=-y \\[4pt] \dot{y}=10 x+k(x+y) \end{array}\right.
onde k\in\mathbb{R} é parâmetro. O ponto de equilíbrio a ser estudado é (x,y)=(0,0).
As perguntas que preciso responder são: para quais intervalos de k o ponto (0,0) é
  • nó (estável ou instável),
  • foco (estável ou instável),
  • centro,
  • ponto de sela.
Vou listar também as informações relevantes dadas pelo enunciado: o sistema é linear (ou seja, a linearização é o próprio sistema), o parâmetro é k e o equilíbrio é na origem.]

Passo 2

Escrevo a matriz associada ao sistema (a matriz do sistema linear \dot{\mathbf{u}}=A\mathbf{u}, com \mathbf{u}=(x,y)^T). Das equações temos:
A=\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] 10+k & k\end{pmatrix}.
Calculo o traço \tau e o determinante \Delta da matriz A:
\tau=\operatorname{tr}(A)=0+k=k,
\Delta=\det(A)=0\cdot k-(-1)(10+k)=10+k.]

Passo 3

Explico a teoria necessária (passo-a-passo, sem pular etapas):
  • Para uma matriz 2\times2 com autovalores \lambda_1,\lambda_2, a equação característica é
\lambda^2-\tau\lambda+\Delta=0,
onde \tau é o traço e \Delta o determinante. As propriedades dos autovalores determinam o tipo do equilíbrio:
  • Se \Delta<0 então os autovalores têm sinais opostos (produto negativo) → ponto de sela (sempre instável).
  • Se \Delta>0 e o discriminante D=\tau^2-4\Delta>0 então os autovalores são reais e têm o mesmo sinal. O sinal é dado por \tau: se \tau<0 são ambos negativos → nó estável; se \tau>0 são ambos positivos → nó instável.
  • Se \Delta>0 e D<0 então os autovalores são complexos conjugados \alpha\pm i\beta. O sinal de \alpha=\tau/2 determina estabilidade: \alpha<0 foco estável, \alpha>0 foco instável. Se \alpha=0 (ou seja \tau=0) e D<0 então os autovalores são puramente imaginários → centro (neutro, no caso linear).
  • Portanto, para classificar precisamos analisar o sinal de \Delta, o sinal do discriminante D=\tau^2-4\Delta e o sinal do traço \tau.

Passo 4

Calculando explicitamente o polinômio e o discriminante para o nosso sistema:
\lambda^2-k\lambda+(10+k)=0,
D=k^2-4(10+k)=k^2-4k-40.
Resolvo D=0 para obter os valores críticos de k:
k^2-4k-40=0 \quad\Rightarrow\quad k=\frac{4\pm\sqrt{16+160}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{176}}{2}=2\pm2\sqrt{11}.
Logo os pontos críticos do discriminante são
k_1=2-2\sqrt{11}\quad\text{e}\quad k_2=2+2\sqrt{11}.
Numericamente, k_1\approx -4{,}633 e k_2\approx 8{,}633.
Também note que \Delta=10+k zera em k=-10, outro valor relevante (determinante muda de sinal aí).

Passo 5

Caso \Delta<0. Como \Delta=10+k, temos \Delta<0 quando
k<-10.
Neste caso os autovalores têm sinais opostos e o ponto de equilíbrio é um ponto de sela (saddle), sempre instável. Conclusão:
\text{para }k<-10:\\ \text{sela (instável).}á

Passo 6

Agora considere \Delta>0, isto é k>-10. Nessa região precisamos ver o sinal de D para decidir entre autovalores reais ou complexos.
  • Se D>0 (autovalores reais): isso ocorre fora do intervalo (k_1,k_2), ou seja para k<k_1 ou k>k_2, desde que também k>-10.
    • Em -10<k<k_1 temos D>0 e além disso k<0 (pois k_1\approx-4{,}633), então \tau=k<0. Com \Delta>0 e \tau<0 os dois autovalores são reais e negativos → nó estável (atrator nodal).
    • Em k>k_2 temos D>0 e \tau=k>0, logo ambos autovalores reais e positivos → nó instável (repulsor nodal).

Passo 7

  • Se D<0 (autovalores complexos conjugados): isso ocorre para
k_1<k<k_2.
Nessa sub-região \Delta>0 (pois k_1>-10), então os autovalores são \lambda=\tfrac{k}{2}\pm i\beta. O sinal da parte real \tfrac{k}{2} determina estabilidade:
  • Para k_1<k<0 temos k<0\Rightarrow parte real negativa → foco estável.
  • Para 0<k<k_2 temos k>0\Rightarrow parte real positiva → foco instável.

Passo 8

Caso particular k=0. Aqui \tau=0 e D=k^2-4k-40=-40<0, então os autovalores são puramente imaginários \pm i\sqrt{10}. Como o sistema é linear, isso caracteriza um centro linear (órbitas fechadas neutrally stable). Conclusão:
k=0:\\ \text{centro.}

Passo 9

Resumindo os intervalos abertos (os limites com igualdade são casos degenerados que merecem comentário, por exemplo k=-10 faz \Delta=0 e k=k_1,k_2 dão autovalor duplo real):
  • Para k<-10: sela (instável).
  • Para -10<k<2-2\sqrt{11}: nó estável.
  • Para 2-2\sqrt{11}<k<0: foco estável.
  • Para k=0: centro.
  • Para 0<k<2+2\sqrt{11}: foco instável.
  • Para k>2+2\sqrt{11}: nó instável.

Passo 10

Observações finais sobre os casos degenerados (curta explicação):
  • Em k=-10 temos \Delta=0, autovalores são 0 e \tau=-10: sistema não-hyperbólico, comportamento degenerado (uma direção neutra).
  • Em k=k_1 ou k=k_2 temos D=0 autovalor real duplo; também caso degenerado (nó degenerado; precisa analisar forma de Jordan para classificar completamente).

Resposta

k<-10: ponto de sela (instável).
-10<k<2-2\sqrt{11}: nó estável.
2-2\sqrt{11}<k<0: foco estável.
k=0: centro.
0<k<2+2\sqrt{11}: foco instável.
k>2+2\sqrt{11}: nó instável.

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