A equação de movimento do pêndulo simples é
\ddot{\theta}=-\frac{g}{\ell} \sin \theta,
onde \theta é o ângulo entre o fio e a vertical e \ell o comprimento do fio. As variáveis de estado são \theta e \omega=\dot{\theta}.
Responda aos itens a seguir.
(a) Escreva as equações de evolução do sistema na forma de um sistema de primeira ordem em (\theta, \omega).
(b) Determine a função Hamiltoniana H(\theta, \omega) a partir das equações de Hamilton:
\dot{\theta}=\frac{\partial H}{\partial p}, \quad \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial \theta},
onde p é o momento conjugado apropriado. Explique a relação entre p e \omega no caso do pêndulo e escreva H em função de \theta e \omega.
(c) Analise o gráfico da energia potencial (isto é, a Hamiltoniana \operatorname{com} \omega=0 ) e utilize-o para discutir a existência de órbitas heteroclínicas e ciclos, e argumente por que não existem órbitas homoclínicas. Fundamente a resposta qualitativamente, indicando o papel dos máximos e mínimos do potencial.

Passo 1

O enunciado dá a equação de movimento
\ddot{\theta}=-\frac{g}{\ell}\sin\theta,
as variáveis de estado \theta e \omega=\dot{\theta} e pede três coisas:
  1. (a) Escrever o sistema de primeira ordem em (\theta,\omega).
  2. (b) Determinar a função Hamiltoniana H(\theta,\omega) usando as equações de Hamilton
\dot{\theta}=\frac{\partial H}{\partial p},\qquad \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial \theta},
explicando a relação entre o momento conjugado p e \omega e escrevendo H em função de \theta e \omega.
3. (c) Analisar o gráfico da energia potencial (isto é, H com \omega=0), usar essa análise para discutir existência de órbitas heteroclínicas e ciclos (órbitas periódicas) e argumentar por que não existem órbitas homoclínicas.
Informações relevantes fornecidas: a equação de movimento acima, \omega=\dot{\theta}, e os parâmetros g (gravidade) e \ell (comprimento do fio). (Nota: para definir o momento conjugado e as energias precisamos introduzir a massa m do pêndulo; isso é padrão e não altera a forma qualitativa das respostas.)

Passo 2

Transformando o EDO de segunda ordem em um sistema de primeira ordem: definimos \omega=\dot{\theta}. Então simplesmente escrevemos as duas equações de evolução para as variáveis de estado \theta e \omega. A ideia é sempre reduzir uma equação de ordem 2 a duas equações de ordem 1.
A equação dada fornece \dot{\omega}=\ddot{\theta}=-\dfrac{g}{\ell}\sin\theta. Portanto o sistema de primeira ordem é
\dot{\theta}=\omega,
\dot{\omega}=-\frac{g}{\ell}\sin\theta.
Isto responde diretamente o item (a). Vou continuar para construir o Hamiltoniano e mostrar consistência.

Passo 3

Breve aula sobre Lagrangiano, momento conjugado e Hamiltoniano (com calma):
  • O pêndulo simples tem energia cinética T e energia potencial V. Para uma massa m presa num fio de comprimento \ell que descreve um ângulo \theta medido a partir da vertical, a velocidade escalar do corpo é \ell\dot{\theta}. Logo
T=\tfrac{1}{2}m(\ell\dot{\theta})^2=\tfrac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2.
  • Podemos escolher a referência de energia potencial tomando V=0 no ponto mais baixo \theta=0. A altura em relação a esse ponto é \ell(1-\cos\theta), então
V=m g \ell(1-\cos\theta).
  • O Lagrangiano é L=T-V. O momento conjugado p associado a \theta é definido por
p=\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}.
Aplicando isso ao pêndulo:
L=\tfrac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2 - m g \ell(1-\cos\theta),
portanto
p=\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=m\ell^2\dot{\theta}.
Isto mostra a relação entre p e \omega: como \omega=\dot{\theta},
p=m\ell^2\omega.
Essa é a relação fundamental: o momento conjugado é a massa vezes o “inércia” angular \ell^2 vezes a velocidade angular \omega.

Passo 4

Construção do Hamiltoniano e verificação com as equações de Hamilton:
  • O Hamiltoniano H(\theta,p) é obtido por
H(\theta,p)=p\dot{\theta}-L,
onde \dot{\theta} é escrito em função de p (invertendo p=m\ell^2\dot{\theta}). Substituindo \dot{\theta}=p/(m\ell^2) e L,
H(\theta,p)=p\cdot\frac{p}{m\ell^2}-\Big(\tfrac{1}{2}m\ell^2\frac{p^2}{m^2\ell^4}-m g \ell(1-\cos\theta)\Big).
Fazendo as contas com calma (mostrando passo a passo):
  • p\dot{\theta}=p\cdot\frac{p}{m\ell^2}=\frac{p^2}{m\ell^2}.
  • \tfrac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2=\tfrac{1}{2}m\ell^2\frac{p^2}{m^2\ell^4}=\frac{p^2}{2m\ell^2}.
    Então
H(\theta,p)=\frac{p^2}{m\ell^2}-\left(\frac{p^2}{2m\ell^2}-m g \ell(1-\cos\theta)\right)=\frac{p^2}{2m\ell^2}+m g \ell(1-\cos\theta).
Esta é a forma clássica: energia cinética (em termos de p) mais potencial.

Passo 5

Escrevendo H em função de \theta e \omega (resolvendo por p=m\ell^2\omega):
  • Substituindo p=m\ell^2\omega na expressão acima:
\frac{p^2}{2m\ell^2}=\frac{(m\ell^2\omega)^2}{2m\ell^2}=\tfrac{1}{2}m\ell^2\omega^2.
Portanto a Hamiltoniana em função de \theta e \omega é
H(\theta,\omega)=\tfrac{1}{2}m\ell^2\omega^2 + m g \ell(1-\cos\theta).
Explico o que significa cada termo:
  • \tfrac{1}{2}m\ell^2\omega^2 é a energia cinética (a “energia de movimento” associada à velocidade angular \omega).
  • m g \ell(1-\cos\theta) é a energia potencial gravitacional medida a partir do fundo do poço ( \theta=0). Essa forma é prática porque o mínimo da energia potencial fica em zero.

Passo 6

Verificação rápida das equações de movimento a partir de H (consistência):
  • Em coordenadas (\theta,p), Hamilton dá
\dot{\theta}=\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p}{m\ell^2}=\omega,
\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial \theta}=-m g \ell\sin\theta.
Dividindo a segunda por m\ell^2 e usando p=m\ell^2\omega obtemos
\dot{\omega}=-\frac{g}{\ell}\sin\theta,
que é exatamente a equação original. Portanto tudo está coerente.

Passo 7

Análise do gráfico da energia potencial \displaystyle V(\theta)=m g \ell(1-\cos\theta) (isto é, H com \omega=0). Vou explicar a forma e o significado físico:
  • A função \cos\theta é periódica de período 2\pi, logo V(\theta) é periódica com mínimos e máximos repetidos.
  • Valores notáveis:
    • Mínimos: \theta=2\pi k têm \cos\theta=1, então V(2\pi k)=m g \ell(1-1)=0.Esses mínimos correspondem à posição vertical para baixo; são equilíbrios estáveis (pequenas perturbações geram oscilações ao redor).
    • Máximos: \theta=\pi+2\pi k têm \cos\theta=-1, então V(\pi+2\pi k)=m g \ell(1-(-1))=2 m g \ell.Esses máximos correspondem à posição vertical para cima; são equilíbrios instáveis (sela no espaço de fases).
  • Gráfico: poços periódicos com profundidade 2m g \ell entre topo e fundo.

Passo 8

Como usar o gráfico do potencial para classificar órbitas (conservação de energia, pontos de virada, tipos de movimento):
  • A energia total E=H(\theta,\omega) é conservada. Para um dado E, os pontos onde \omega=0 satisfazem V(\theta)=E; estes são pontos de inversão de movimento (turning points).
  • Três regimes qualitativos conforme E:
    1. 0\le E<2m g \ell: a energia é menor que o máximo do potencial. Então a coordenada \theta fica confinada dentro de um poço entre dois pontos onde V(\theta)=E. Isso representa oscilações periódicas (librations) ao redor de um mínimo \theta=2\pi k. No espaço de fases (\theta,\omega) esses níveis de energia são curvilíneos fechados — são ciclos (órbitas periódicas).
    2. E=2m g \ell: energia igual à altura do topo do potencial. Neste caso a partícula pode alcançar assintoticamente o topo \theta=\pi+2\pi k com velocidade zero, demorando tempo infinito para realmente “ficar” lá. No espaço de fases a curva de nível de energia degenerada correspondente é a separatriz que liga pontos de topo — estas são as órbitas que tendem, quando t\to\pm\infty, para equílibrio de sela. Essas curvas são precisamente as órbitas heteroclínicas do sistema.
    3. E>2m g \ell: energia maior que o máximo; a partícula tem energia suficiente para ultrapassar os topos e \theta pode crescer (ou diminuir) sem ficar confinada — isto corresponde a rotações completas do pêndulo. No espaço de fases as curvas de nível são não-fechadas (envolvem \theta aumentando indefinidamente mod 2\pi).

Passo 9

Discussão sobre heteroclinicidade, ciclos e ausência de homoclínicos (argumento qualitativo e intuitivo com papel de máximos/minimos):
  • Ciclos (órbitas periódicas): vinculados aos mínimos do potencial. Cada mínimo \theta=2\pi k é um ponto de equilíbrio estável (centro no espaço de fases). Pequenas energias produzem trajetórias fechadas em torno desse mínimo: essas são as oscilações periódicas do pêndulo (pequenas oscilações aproximam-se de movimentos harmônicos).
  • Heteroclinicidade (separatriz): os máximos do potencial \theta=\pi+2\pi k são pontos de equilíbrio instáveis (sela). A curva de energia E=2m g \ell que passa por esses pontos é a separatriz; ela liga uma sela a outra sela deslocada por 2\pi. Ou seja, as trajetórias nesta curva partem do entorno de um ponto de sela (quando t\to -\infty) e aproximam-se de outro ponto de sela (quando t\to +\infty) — por isso são heteroclínicas. Fisicamente, é o movimento de subir exatamente até o topo com velocidade tendendo a zero no infinito de tempo, e sair do topo do outro lado.
  • Por que não homoclínicas? Uma órbita homoclínica deveria partir de uma sela e voltar ao mesmo ponto de sela (aproximando-se dele tanto quando t\to-\infty quanto quando t\to+\infty). No pêndulo simples a potencial é periódica em \theta: os topos são repetidos e equivalentes, e a separatriz liga um topo a outro topo vizinho (diferença de \Delta\theta=2\pi). Assim, as curvas de separatriz não “fecham” voltando ao mesmo ponto de sela; elas conectam saddles distintos na cobertura da reta (na cilindricidade do espaço de fase isto aparece como conexões entre repetições do mesmo tipo de sela). Em termos práticos: a presença da periodicidade e o fato de que o topo é um máximo isolado do poço faz com que a trajetória que sobe até o topo de um lado continuará e aproximará o topo do próximo poço, não retornando ao mesmo ponto inicial de sela em tempo finito. Portanto temos heteroclínicas, não homoclínicas.
  • Comentário adicional (intuitivo): homoclínicos tipicamente surgem quando um máximo do potencial é isolado e a separatriz forma um laço em torno desse mesmo máximo; no pêndulo, por causa da periodicidade espacial, estes laços não aparecem — a separatriz “atravessa” do topo de um poço ao topo do seguinte.

Passo 10

Resumo final didático para memorizar na prova:
  • Sempre escreva primeiro o sistema de primeira ordem definindo \omega=\dot{\theta}.
  • Para achar o Hamiltoniano, passe pelo Lagrangiano L=T-V, calcule p=\partial L/\partial\dot{\theta} (aqui p=m\ell^2\omega) e construa H=p\dot{\theta}-L.
  • Use o gráfico de V(\theta) para classificar movimentos por energia: abaixo do máximo → oscilações periódicas; igual ao máximo → separatriz (heteroclínica); acima do máximo → rotações (não periódicas).
  • Lembre que mínimos do potencial são equilíbrios estáveis (centros → ciclos) e máximos são equilíbrios instáveis (selas → separatrices que conduzem a heteroclinicidade).

Resposta

(a) \dot{\theta}=\omega,\quad \dot{\omega}=-\dfrac{g}{\ell}\sin\theta.
(b) p=m\ell^2\omega e \displaystyle H(\theta,\omega)=\tfrac{1}{2}m\ell^2\omega^2 + m g \ell(1-\cos\theta).
(c) A energia potencial \displaystyle V(\theta)=m g \ell(1-\cos\theta) tem mínimos em \theta=2\pi k (equilíbrios estáveis → órbitas periódicas em níveis 0<E<2m g\ell) e máximos em \theta=\pi+2\pi k (equilíbrios instáveis → energia crítica E=2m g\ell produz as separatrices). Essas separatrices são órbitas heteroclínicas que ligam saddles vizinhos; para E>2m g\ell ocorrem rotações não-periódicas. Não existem órbitas homoclínicas porque, devido à periodicidade do potencial, as curvas separatrizes conectam topos distintos (saddles repetidos) em vez de retornar ao mesmo ponto de sela.

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