A equação de movimento do pêndulo simples é
onde
é o ângulo entre o fio e a vertical e
o comprimento do fio. As variáveis de estado são
e
.
Responda aos itens a seguir.
(a) Escreva as equações de evolução do sistema na forma de um sistema de primeira ordem em
.
(b) Determine a função Hamiltoniana
a partir das equações de Hamilton:
onde
é o momento conjugado apropriado. Explique a relação entre
e
no caso do pêndulo e escreva
em função de
e
.
(c) Analise o gráfico da energia potencial (isto é, a Hamiltoniana
) e utilize-o para discutir a existência de órbitas heteroclínicas e ciclos, e argumente por que não existem órbitas homoclínicas. Fundamente a resposta qualitativamente, indicando o papel dos máximos e mínimos do potencial.
(a) Escreva as equações de evolução do sistema na forma de um sistema de primeira ordem em
(b) Determine a função Hamiltoniana
(c) Analise o gráfico da energia potencial (isto é, a Hamiltoniana
Passo 1
O enunciado dá a equação de movimento
as variáveis de estado
e
e pede três coisas:
- (a) Escrever o sistema de primeira ordem em
. - (b) Determinar a função Hamiltoniana
usando as equações de Hamilton
explicando a relação entre o momento conjugado
e
e escrevendo
em função de
e
.
3. (c) Analisar o gráfico da energia potencial (isto é, com
), usar essa análise para discutir existência de órbitas heteroclínicas e ciclos (órbitas periódicas) e argumentar por que não existem órbitas homoclínicas.
3. (c) Analisar o gráfico da energia potencial (isto é,
Informações relevantes fornecidas: a equação de movimento acima,
, e os parâmetros
(gravidade) e
(comprimento do fio). (Nota: para definir o momento conjugado e as energias precisamos introduzir a massa
do pêndulo; isso é padrão e não altera a forma qualitativa das respostas.)
Passo 2
Transformando o EDO de segunda ordem em um sistema de primeira ordem: definimos
. Então simplesmente escrevemos as duas equações de evolução para as variáveis de estado
e
. A ideia é sempre reduzir uma equação de ordem
a duas equações de ordem
.
A equação dada fornece
. Portanto o sistema de primeira ordem é
Isto responde diretamente o item (a). Vou continuar para construir o Hamiltoniano e mostrar consistência.
Passo 3
Breve aula sobre Lagrangiano, momento conjugado e Hamiltoniano (com calma):
- O pêndulo simples tem energia cinética
e energia potencial . Para uma massa presa num fio de comprimento que descreve um ângulo medido a partir da vertical, a velocidade escalar do corpo é . Logo
- Podemos escolher a referência de energia potencial tomando
no ponto mais baixo . A altura em relação a esse ponto é , então
- O Lagrangiano é
. O momento conjugado associado a é definido por
Aplicando isso ao pêndulo:
portanto
Isto mostra a relação entre
e
: como
,
Essa é a relação fundamental: o momento conjugado é a massa vezes o “inércia” angular
vezes a velocidade angular
.
Passo 4
Construção do Hamiltoniano e verificação com as equações de Hamilton:
- O Hamiltoniano
é obtido por
onde
é escrito em função de
(invertendo
). Substituindo
e
,
Fazendo as contas com calma (mostrando passo a passo):
-
-
Então
Esta é a forma clássica: energia cinética (em termos de
) mais potencial.
Passo 5
Escrevendo
em função de
e
(resolvendo por
):
- Substituindo
na expressão acima:
Portanto a Hamiltoniana em função de
e
é
Explico o que significa cada termo:
-
é a energia cinética (a “energia de movimento” associada à velocidade angular ). -
é a energia potencial gravitacional medida a partir do fundo do poço ( ). Essa forma é prática porque o mínimo da energia potencial fica em zero.
Passo 6
Verificação rápida das equações de movimento a partir de
(consistência):
- Em coordenadas
, Hamilton dá
Dividindo a segunda por
e usando
obtemos
que é exatamente a equação original. Portanto tudo está coerente.
Passo 7
Análise do gráfico da energia potencial
(isto é,
com
). Vou explicar a forma e o significado físico:
- A função
é periódica de período , logo é periódica com mínimos e máximos repetidos. - Valores notáveis:
- Mínimos:
têm , então Esses mínimos correspondem à posição vertical para baixo; são equilíbrios estáveis (pequenas perturbações geram oscilações ao redor). - Máximos:
têm , então Esses máximos correspondem à posição vertical para cima; são equilíbrios instáveis (sela no espaço de fases).
- Mínimos:
- Gráfico: poços periódicos com profundidade
entre topo e fundo.
Passo 8
Como usar o gráfico do potencial para classificar órbitas (conservação de energia, pontos de virada, tipos de movimento):
- A energia total
é conservada. Para um dado , os pontos onde satisfazem ; estes são pontos de inversão de movimento (turning points). - Três regimes qualitativos conforme
: -
: a energia é menor que o máximo do potencial. Então a coordenada fica confinada dentro de um poço entre dois pontos onde . Isso representa oscilações periódicas (librations) ao redor de um mínimo . No espaço de fases esses níveis de energia são curvilíneos fechados — são ciclos (órbitas periódicas). -
: energia igual à altura do topo do potencial. Neste caso a partícula pode alcançar assintoticamente o topo com velocidade zero, demorando tempo infinito para realmente “ficar” lá. No espaço de fases a curva de nível de energia degenerada correspondente é a separatriz que liga pontos de topo — estas são as órbitas que tendem, quando , para equílibrio de sela. Essas curvas são precisamente as órbitas heteroclínicas do sistema. -
: energia maior que o máximo; a partícula tem energia suficiente para ultrapassar os topos e pode crescer (ou diminuir) sem ficar confinada — isto corresponde a rotações completas do pêndulo. No espaço de fases as curvas de nível são não-fechadas (envolvem aumentando indefinidamente mod ).
-
Passo 9
Discussão sobre heteroclinicidade, ciclos e ausência de homoclínicos (argumento qualitativo e intuitivo com papel de máximos/minimos):
- Ciclos (órbitas periódicas): vinculados aos mínimos do potencial. Cada mínimo
é um ponto de equilíbrio estável (centro no espaço de fases). Pequenas energias produzem trajetórias fechadas em torno desse mínimo: essas são as oscilações periódicas do pêndulo (pequenas oscilações aproximam-se de movimentos harmônicos). - Heteroclinicidade (separatriz): os máximos do potencial
são pontos de equilíbrio instáveis (sela). A curva de energia que passa por esses pontos é a separatriz; ela liga uma sela a outra sela deslocada por . Ou seja, as trajetórias nesta curva partem do entorno de um ponto de sela (quando ) e aproximam-se de outro ponto de sela (quando ) — por isso são heteroclínicas. Fisicamente, é o movimento de subir exatamente até o topo com velocidade tendendo a zero no infinito de tempo, e sair do topo do outro lado. - Por que não homoclínicas? Uma órbita homoclínica deveria partir de uma sela e voltar ao mesmo ponto de sela (aproximando-se dele tanto quando
quanto quando ). No pêndulo simples a potencial é periódica em : os topos são repetidos e equivalentes, e a separatriz liga um topo a outro topo vizinho (diferença de ). Assim, as curvas de separatriz não “fecham” voltando ao mesmo ponto de sela; elas conectam saddles distintos na cobertura da reta (na cilindricidade do espaço de fase isto aparece como conexões entre repetições do mesmo tipo de sela). Em termos práticos: a presença da periodicidade e o fato de que o topo é um máximo isolado do poço faz com que a trajetória que sobe até o topo de um lado continuará e aproximará o topo do próximo poço, não retornando ao mesmo ponto inicial de sela em tempo finito. Portanto temos heteroclínicas, não homoclínicas. - Comentário adicional (intuitivo): homoclínicos tipicamente surgem quando um máximo do potencial é isolado e a separatriz forma um laço em torno desse mesmo máximo; no pêndulo, por causa da periodicidade espacial, estes laços não aparecem — a separatriz “atravessa” do topo de um poço ao topo do seguinte.
Passo 10
Resumo final didático para memorizar na prova:
- Sempre escreva primeiro o sistema de primeira ordem definindo
. - Para achar o Hamiltoniano, passe pelo Lagrangiano
, calcule (aqui ) e construa . - Use o gráfico de
para classificar movimentos por energia: abaixo do máximo → oscilações periódicas; igual ao máximo → separatriz (heteroclínica); acima do máximo → rotações (não periódicas). - Lembre que mínimos do potencial são equilíbrios estáveis (centros → ciclos) e máximos são equilíbrios instáveis (selas → separatrices que conduzem a heteroclinicidade).
Resposta
(a)
(b) e
(c) A energia potencial tem mínimos em
(equilíbrios estáveis → órbitas periódicas em níveis
) e máximos em
(equilíbrios instáveis → energia crítica
produz as separatrices). Essas separatrices são órbitas heteroclínicas que ligam saddles vizinhos; para
ocorrem rotações não-periódicas. Não existem órbitas homoclínicas porque, devido à periodicidade do potencial, as curvas separatrizes conectam topos distintos (saddles repetidos) em vez de retornar ao mesmo ponto de sela.
(b)
(c) A energia potencial