Considere um transformador ideal abaixador (2400 \mathrm{~V} / 120 \mathrm{~V} e potência nominal de 15 kVA quando este alimenta uma carga de fator de potência igual a 0,92 atrasado.
a) Calcule a potência ativa consumida pela carga;
b) Calcule o módulo da corrente que circula na carga;
c) Qual o valor da Impedância da carga no lado do secundário;
d) Qual o valor da Impedância da carga referenciada ao primário;
e) Calcule o módulo da corrente que circula no primário do transformador.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (lista clara e direta):
  • Dados fornecidos:
    • Tensão primária do transformador: V_1 = 2400\\ \mathrm{V}.
    • Tensão secundária do transformador: V_2 = 120\\ \mathrm{V}.
    • Potência aparente nominal (quando alimenta a carga): S = 15\\ \mathrm{kVA} = 15{,}0\\ \mathrm{kVA}.
    • Fator de potência da carga: \mathrm{pf}=0{,}92 (atrasado, ou seja, indutivo).
  • Pedidos:
    a) Calcular a potência ativa consumida pela carga ( P).
    b) Calcular o módulo da corrente que circula na carga (corrente no secundário, |I_2|).
    c) Calcular a impedância da carga no lado do secundário ( Z_2, valor complexo e/ou módulo e ângulo).
    d) Calcular a impedância da carga referida ao primário ( Z_1).
    e) Calcular o módulo da corrente que circula no primário ( |I_1|).

Passo 2

Entender as relações básicas que vamos usar (mini-aula rápida e prática):
  • A potência aparente em valor eficaz é \,S = V_{\text{rms}}\,I_{\text{rms}} (magnitudes), onde S é em volt-ampere (VA). Aqui trabalhamos com magnitudes quando falamos em módulos de tensões e correntes.
  • A potência ativa é \,P = S\cdot\mathrm{pf}, onde \mathrm{pf}=\cos\varphi e \varphi é o ângulo de fase entre tensão e corrente (positivo se a carga for indutiva, ou seja, “atrasado”).
  • Para um transformador ideal, a potência aparente no primário e no secundário são iguais (desprezando perdas): \,S_1=S_2=S.
  • A impedância vista no secundário (valor complexo) pode ser obtida por Z_2 = \dfrac{V_2}{I_2} (na forma fasorial), e o ângulo de Z_2 é \varphi (porque \mathrm{pf}=\cos\varphi).
  • Para referir impedância do secundário ao primário em transformador ideal usa-se o quadrado da relação de tensões (ou de espiras): se a=\dfrac{V_1}{V_2} então Z_1 = a^2 Z_2.
  • A corrente no secundário em módulo é |I_2|=\dfrac{S}{V_2}. A corrente no primário em módulo |I_1|=\dfrac{S}{V_1} (ou |I_1|=\dfrac{|I_2|}{a}).

Passo 3

Calcular a potência ativa consumida pela carga (item a) usando \,P = S\cdot\mathrm{pf}.
  • Substituindo os valores:
S = 15\\ \mathrm{kVA} = 15{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{VA},\qquad \mathrm{pf}=0{,}92.
P = S\cdot\mathrm{pf} = 15{,}0\times10^{3}\cdot 0{,}92 = 13{,}8\times10^{3}\\ \mathrm{W}.
  • Resultado em forma prática: \,P = 13{,}8\\ \mathrm{kW}.
Explicação didática: isso vem direto da definição de fator de potência: fração da potência aparente que é “realmente” convertida em trabalho/calor. O produto S\cdot\mathrm{pf} dá a potência ativa.

Passo 4

Calcular o módulo da corrente que circula na carga (item b): usar |I_2|=\dfrac{S}{V_2}.
  • Magnitudes:
|I_2|=\frac{S}{V_2}=\frac{15{,}0\times10^{3}}{120}=125\\ \mathrm{A}.
Mini-aula: a relação |I|=S/V é válida porque S=V_{\text{rms}}I_{\text{rms}} quando V e I são magnitudes eficazes. Como o transformador é ideal, a carga consome essa corrente no secundário.

Passo 5

Determinar a impedância da carga no secundário (item c). Precisamos do módulo e do ângulo, e também da forma retangular (parte real e imaginária).
  1. Primeiro achamos o ângulo \varphi associado ao fator de potência:
\mathrm{pf}=\cos\varphi \quad\Rightarrow\quad \varphi=\operatorname{arccos}(0{,}92).
Calculemos numericamente:
\varphi \approx 23{,}07^\circ\quad(\text{ou }0{,}403\\ \text{rad}).
  1. Módulo de Z_2:
|Z_2|=\frac{|V_2|}{|I_2|}=\frac{120}{125}=0{,}96\\ \Omega.
  1. Forma fasorial (ângulo) e forma retangular:
Z_2 = |Z_2|\angle \varphi = 0{,}96\angle 23{,}07^\circ\\ \Omega.
Separando em resistência (parte real) e reatância (parte imaginária):
R_2 = |Z_2|\cos\varphi = 0{,}96\cdot 0{,}92 = 0{,}8832\\ \Omega,
X_2 = |Z_2|\sin\varphi = 0{,}96\cdot\sqrt{1-0{,}92^{2}} = 0{,}96\cdot 0{,}3920 \approx 0{,}3763\\ \Omega.
Portanto:
Z_2 \approx 0{,}8832 + j\,0{,}3763\\ \Omega \quad\text{(ou)}\quad 0{,}96\angle 23{,}07^\circ\\ \Omega.
Didática rápida: o ângulo é positivo porque o fator de potência é atrasado (corrente atrasada em relação à tensão), típico de carga indutiva; isso faz a reatância X positiva.

Passo 6

Referir a impedância ao primário (item d) usando a relação do transformador ideal.
  • Relação de transformador (razão de tensões/espiras):
a = \frac{V_1}{V_2} = \frac{2400}{120} = 20.
  • Impedância referida ao primário:
Z_1 = a^{2}\,Z_2 = 20^{2}\cdot Z_2 = 400\cdot Z_2.
Aplicando em módulo e em forma retangular:
|Z_1| = 400\cdot 0{,}96 = 384\\ \Omega,
Z_1 = 400\cdot(0{,}8832 + j\,0{,}3763) \approx 353{,}28 + j\,150{,}52\\ \Omega,
ou em ângulo:
Z_1 \approx 384\angle 23{,}07^\circ\\ \Omega.
Explicação: impedância “vê-la” multiplicada por a^2 é uma consequência da relação entre tensões e correntes em transformadores ideais: tensão escala por a, corrente por 1/a, então Z=V/I escala por a^2.

Passo 7

Calcular o módulo da corrente no primário (item e). Duas maneiras equivalentes (usamos a mais direta):
  • Usando |I_1|=\dfrac{S}{V_1}:
|I_1|=\frac{15{,}0\times10^{3}}{2400}=6{,}25\\ \mathrm{A}.
  • Verificação rápida pela relação de transformação de corrente:
|I_1|=\frac{|I_2|}{a}=\frac{125}{20}=6{,}25\\ \mathrm{A},
o que confirma o resultado.
Mini-dica: em prova, usar I_1=S/V_1 é prático e rápido quando se trabalha com valores de linha/eficazes.

Resposta

a) P = 13{,}8\\ \mathrm{kW}
b) |I_2| = 125\\ \mathrm{A}
c) Z_2 = 0{,}96\angle 23{,}07^\circ\\ \Omega \;=\; 0{,}8832 + j\,0{,}3763\\ \Omega
d) Z_1 = 384\angle 23{,}07^\circ\\ \Omega \;=\; 353{,}28 + j\,150{,}52\\ \Omega
e) |I_1| = 6{,}25\\ \mathrm{A}

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