Uma corrente senoidal tem amplitude máxima de 20 A . A corrente passa por um ciclo completo em 1 ms . O valor da corrente em \mathrm{t}=0 é 10 A .
(a) Qual é o período da tensão em milissegundos?
(b) Qual é a frequência em hertz?
(c) Qual é a magnitude de v em t =2,778 \mathrm{~ms} ?
(d) Qual é o valor eficaz de v?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo que vem do enunciado).
  • Dado: amplitude máxima A=20\\ \mathrm{A}.
  • Dado: a corrente completa um ciclo em 1\\ \mathrm{ms}. (ou seja, um ciclo dura 1\\ \mathrm{ms}.)
  • Dado: o valor instantâneo em t=0 é v(0)=10\\ \mathrm{A}.
  • Perguntas:
    (a) Qual é o período da tensão em milissegundos?
    (b) Qual é a frequência em hertz?
    (c) Qual é a magnitude de v em t=2,778\\ \mathrm{ms}?
    (d) Qual é o valor eficaz (RMS) de v?

Passo 2

Modelo da forma senoidal e definição das grandezas que vamos usar.
  • Para uma grandeza senoidal podemos escrever
v(t)=A\sin(\omega t+\varphi),
onde:
  • A é a amplitude máxima (aqui 20\\ \mathrm{A});
  • \omega é a frequência angular em \mathrm{rad/s};
  • \varphi é a fase inicial em radianos;
  • t é o tempo em segundos.
  • As relações básicas são:
\omega=2\pi f \quad\text{e}\quad f=\frac{1}{T},
onde T é o período (tempo de um ciclo) e f é a frequência em hertz.

Passo 3

Converter o período dado para segundos e calcular \omega (vai ser útil depois).
  • O enunciado diz um ciclo em 1\\ \mathrm{ms}. Em segundos:
T=1\\ \mathrm{ms}=1\times10^{-3}\\ \mathrm{s}.
  • A frequência angular é
\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{1\times10^{-3}}=2000\pi\\ \mathrm{rad/s}.
(Se precisar de valor numérico, 2000\pi\approx6283{,}1853\\ \mathrm{rad/s}.)

Passo 4

Encontrar a fase \varphi usando v(0)=A\sin(\varphi).
  • Em t=0 temos v(0)=10\\ \mathrm{A}. Pela forma senoidal,
v(0)=A\sin(\varphi)\quad\Rightarrow\quad 10=20\sin(\varphi).
  • Logo
\sin(\varphi)=\frac{10}{20}=\tfrac{1}{2}.
  • As soluções para \sin(\varphi)=\tfrac{1}{2} são \varphi=\tfrac{\pi}{6} ou \varphi=\tfrac{5\pi}{6} (mais soluções seriam essas mais múltiplos inteiros de 2\pi).
    Sem informação adicional sobre o sinal da derivada em t=0 (ou seja, se a onda está subindo ou descendo), ambas são matematicamente possíveis. Para ficar com a forma mais simples e usual, escolhemos a solução principal
\varphi=\tfrac{\pi}{6}.

Passo 5

Escrever a expressão completa de v(t) com os parâmetros encontrados.
  • Substituindo A, \omega e \varphi:
v(t)=20\sin\!\bigl(2000\pi\,t+\tfrac{\pi}{6}\bigr)\\ \mathrm{A}.
(Isto é a forma que vamos usar para calcular valores instantâneos.)

Passo 6

Resposta da parte (a): período da tensão em milissegundos.
  • O enunciado dá o tempo de um ciclo como 1\\ \mathrm{ms}. Assumindo que tensão e corrente têm o mesmo período, o período da tensão é
T=1\\ \mathrm{ms}.

Passo 7

Resposta da parte (b): frequência em hertz.
  • A frequência é f=1/T. Com T=1\times10^{-3}\\ \mathrm{s},
f=\frac{1}{1\times10^{-3}}=1000\\ \mathrm{Hz}.

Passo 8

Calcular v\bigl(2{,}778\\ \mathrm{ms}\bigr) e a sua magnitude (parte c).
  • Converter o tempo para segundos:
t=2{,}778\\ \mathrm{ms}=2{,}778\times10^{-3}\\ \mathrm{s}.
  • Avaliar o argumento do seno:
\theta=\omega t+\varphi=(2000\pi)\cdot(2{,}778\times10^{-3})+\tfrac{\pi}{6}.
  • Fazer a multiplicação com cuidado:
(2000\pi)\cdot(2{,}778\times10^{-3})=(2000\cdot0{,}002778)\pi=5{,}556\pi.
Logo
\theta=5{,}556\pi+\tfrac{\pi}{6}.
  • Valor numérico (em radianos):
\theta\approx17{,}9769\\ \mathrm{rad}.
  • Como o seno é periódico de 2\pi, podemos reduzir o ângulo; numericamente obtemos
\sin(\theta)\approx\sin(17{,}9769)\approx-0{,}76604.
  • Portanto o valor instantâneo é
v(2{,}778\\ \mathrm{ms})=20\cdot(-0{,}76604)\\ \mathrm{A}\approx-15{,}3208\\ \mathrm{A}.
  • A magnitude (valor absoluto) pedida no enunciado é
|v(2{,}778\\ \mathrm{ms})|\approx15{,}32\\ \mathrm{A}.
(Obs.: o sinal negativo do valor instantâneo indica que a corrente está no sentido oposto naquele instante; a “magnitude” é o valor positivo.)

Passo 9

Calcular o valor eficaz (RMS) pedido na parte (d).
  • Para uma senoide pura com amplitude A, o valor eficaz é
V_{\mathrm{rms}}=\frac{A}{\sqrt{2}}.
  • Substituindo A=20\\ \mathrm{A}:
V_{\mathrm{rms}}=\frac{20}{\sqrt{2}}=10\sqrt{2}\\ \mathrm{A}\approx14{,}1421\\ \mathrm{A}.

Resposta

(a) T=1\\ \mathrm{ms}
(b) f=1000\\ \mathrm{Hz}
(c) |v(2{,}778\\ \mathrm{ms})| \approx 15{,}32\\ \mathrm{A} (valor instantâneo v(2{,}778\\ \mathrm{ms})\approx-15{,}3208\\ \mathrm{A})
(d) V_{\mathrm{rms}}=10\sqrt{2}\\ \mathrm{A}\approx14{,}142\\ \mathrm{A}

Exercícios relacionados