Uma corrente senoidal tem amplitude máxima de 20 A . A corrente passa por um ciclo completo em 1 ms . O valor da corrente em
é 10 A .
(a) Qual é o período da tensão em milissegundos?
(b) Qual é a frequência em hertz?
(c) Qual é a magnitude de v em t
?
(d) Qual é o valor eficaz de v?
(a) Qual é o período da tensão em milissegundos?
(b) Qual é a frequência em hertz?
(c) Qual é a magnitude de v em t
(d) Qual é o valor eficaz de v?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo que vem do enunciado).
- Dado: amplitude máxima
. - Dado: a corrente completa um ciclo em
. (ou seja, um ciclo dura .) - Dado: o valor instantâneo em
é . - Perguntas:
(a) Qual é o período da tensão em milissegundos?
(b) Qual é a frequência em hertz?
(c) Qual é a magnitude deem ?
(d) Qual é o valor eficaz (RMS) de?
Passo 2
Modelo da forma senoidal e definição das grandezas que vamos usar.
- Para uma grandeza senoidal podemos escrever
onde:
-
é a amplitude máxima (aqui ); -
é a frequência angular em ; -
é a fase inicial em radianos; -
é o tempo em segundos. - As relações básicas são:
onde
é o período (tempo de um ciclo) e
é a frequência em hertz.
Passo 3
Converter o período dado para segundos e calcular
(vai ser útil depois).
- O enunciado diz um ciclo em
. Em segundos:
- A frequência angular é
(Se precisar de valor numérico,
.)
Passo 4
Encontrar a fase
usando
.
- Em
temos . Pela forma senoidal,
- Logo
- As soluções para
são ou (mais soluções seriam essas mais múltiplos inteiros de ).
Sem informação adicional sobre o sinal da derivada em(ou seja, se a onda está subindo ou descendo), ambas são matematicamente possíveis. Para ficar com a forma mais simples e usual, escolhemos a solução principal
Passo 5
Escrever a expressão completa de
com os parâmetros encontrados.
- Substituindo
, e :
(Isto é a forma que vamos usar para calcular valores instantâneos.)
Passo 6
Resposta da parte (a): período da tensão em milissegundos.
- O enunciado dá o tempo de um ciclo como
. Assumindo que tensão e corrente têm o mesmo período, o período da tensão é
Passo 7
Resposta da parte (b): frequência em hertz.
- A frequência é
. Com ,
Passo 8
Calcular
e a sua magnitude (parte c).
- Converter o tempo para segundos:
- Avaliar o argumento do seno:
- Fazer a multiplicação com cuidado:
Logo
- Valor numérico (em radianos):
- Como o seno é periódico de
, podemos reduzir o ângulo; numericamente obtemos
- Portanto o valor instantâneo é
- A magnitude (valor absoluto) pedida no enunciado é
(Obs.: o sinal negativo do valor instantâneo indica que a corrente está no sentido oposto naquele instante; a “magnitude” é o valor positivo.)
Passo 9
Calcular o valor eficaz (RMS) pedido na parte (d).
- Para uma senoide pura com amplitude
, o valor eficaz é
- Substituindo
:
Resposta
(a)
(b)
(c) (valor instantâneo
)
(d)
(b)
(c)
(d)