Um resistor de 20 V está ligado em paralelo com um indutor de 5 mH . Essa combinação em paralelo está ligada em série com um resistor de
e um capacitor de 25 mF .
(a) Calcule a impedância dessa interligação se a frequência for
.
(b) Repita (a) para uma frequência de
.
(c) Em qual frequência finita a impedância da interligação torna-se puramente resistiva?
(d) Qual é a impedância na frequência determinada em (c)?
(a) Calcule a impedância dessa interligação se a frequência for
(b) Repita (a) para uma frequência de
(c) Em qual frequência finita a impedância da interligação torna-se puramente resistiva?
(d) Qual é a impedância na frequência determinada em (c)?
Passo 1
O enunciado pede a impedância total de uma associação elétrica em quatro situações. Vou listar claramente os dados fornecidos e o que cada pergunta solicita.
Dados (peguei todos do enunciado):
- Um resistor em paralelo com um indutor: resistor
e indutor . - Essa combinação em paralelo está em série com um resistor
e um capacitor .
O que é pedido:
(a) Calcular a impedância da interligação quando a frequência angular é .
(b) Repetir (a) para .
(c) Determinar a frequência (valor finito de ) em que a impedância total se torna puramente resistiva (ou seja, a parte imaginária da impedância total é zero).
(d) Calcular a impedância total na frequência encontrada em (c).
(a) Calcular a impedância da interligação quando a frequência angular é
(b) Repetir (a) para
(c) Determinar a frequência (valor finito de
(d) Calcular a impedância total na frequência encontrada em (c).
Observação: as notações que vou usar (sempre explicadas no passo seguinte) são:
-
impedância do indutor; -
impedância do capacitor; -
impedância equivalente do paralelo ; -
impedância total do circuito.
Passo 2
Relembre rápido (fórmulas e ideias que vou usar) — aula curta e prática:
- Impedância do indutor:
onde
é a frequência angular (em
),
é a indutância (em H) e
é a unidade imaginária (
). O indutor fornece uma reatância indutiva
com sinal imaginário positivo.
- Impedância do capacitor:
O capacitor tem reatância capacitiva
(parte imaginária negativa).
- Impedância de dois elementos em paralelo
e :
No nosso caso,
.
- Elementos em série somam as impedâncias (rezistores e reatâncias):
Também é útil escrever
em forma real + j imaginária para somar facilmente com
e
. Vou deduzir essa forma agora (passo a passo algébrico muito didático).
Passo 3
Cálculo algébrico da impedância do paralelo
em forma real-imaginária.
Partimos de
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado
para separar real e imaginário:
Expandindo o numerador (lembrando
):
Portanto
Ou seja:
- Parte real:
- Parte imaginária:
Esta forma é ótima porque a impedância total será
já que
.
Agora aplico isso numericamente para as frequências pedidas.
Passo 4
Cálculo numérico para (a):
.
Dados numéricos relevantes:
Calcule
e
:
Calcule denominador
.
Agora as partes de
:
Logo
.
Impedância do capacitor:
Somando em série com
:
(Interpretação breve: a parte imaginária positiva indica uma reatância indutiva resultante líquida.)
Passo 5
Cálculo numérico para (b):
.
Calcule
e
:
Denominador
.
Partes de
:
Logo
.
Capacitor:
Somando tudo com
:
Passo 6
Resolver (c): frequência finita
tal que
seja puramente resistiva.
Condição para ser puramente resistiva: parte imaginária nula:
Substituindo a expressão de
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Rearranjando:
Colocando termos em
juntos:
Logo
Esta é a expressão fechada para a(s) possível(is) frequências; escolhemos a raiz positiva:
Agora plugando os números:
Portanto existe uma frequência finita positiva
que torna a impedância puramente resistiva.
Passo 7
Calcular (d): impedância total na frequência
.
Como por construção a parte imaginária é zero nessa frequência, a impedância total é simplesmente a soma das partes reais:
Vamos calcular
nesta
.
Primeiro calcule
:
Denominador
Agora
Portanto
Interpretação rápida e confortável: nessa frequência o capacitor fornece exatamente a reatância negativa necessária para cancelar a reatância indutiva resultante do ramo paralelo, deixando só uma pequena resistência adicional proveniente do efeito do paralelo
somada ao
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)