Um resistor de 20 V está ligado em paralelo com um indutor de 5 mH . Essa combinação em paralelo está ligada em série com um resistor de 5 \Omega e um capacitor de 25 mF .
(a) Calcule a impedância dessa interligação se a frequência for 2 \mathrm{krad} / \mathrm{s}.
(b) Repita (a) para uma frequência de 8 \mathrm{krad} / \mathrm{s}.
(c) Em qual frequência finita a impedância da interligação torna-se puramente resistiva?
(d) Qual é a impedância na frequência determinada em (c)?

Passo 1

O enunciado pede a impedância total de uma associação elétrica em quatro situações. Vou listar claramente os dados fornecidos e o que cada pergunta solicita.
Dados (peguei todos do enunciado):
  • Um resistor em paralelo com um indutor: resistor R_1 = 20\\ \Omega e indutor L = 5\\ \text{mH} = 5\times10^{-3}\\ \text{H}.
  • Essa combinação em paralelo está em série com um resistor R_2 = 5\\ \Omega e um capacitor C = 25\\ \text{mF} = 25\times10^{-3}\\ \text{F}.
O que é pedido:
(a) Calcular a impedância da interligação quando a frequência angular é \omega = 2\\ \text{krad/s} = 2000\\ \text{rad/s}.
(b) Repetir (a) para \omega = 8\\ \text{krad/s} = 8000\\ \text{rad/s}.
(c) Determinar a frequência (valor finito de \omega) em que a impedância total se torna puramente resistiva (ou seja, a parte imaginária da impedância total é zero).
(d) Calcular a impedância total na frequência encontrada em (c).
Observação: as notações que vou usar (sempre explicadas no passo seguinte) são:
  • Z_L impedância do indutor;
  • Z_C impedância do capacitor;
  • Z_{p} impedância equivalente do paralelo R_1 \parallel L;
  • Z_{\text{tot}} impedância total do circuito.

Passo 2

Relembre rápido (fórmulas e ideias que vou usar) — aula curta e prática:
  • Impedância do indutor: Z_L = j\,\omega L,
onde \omega é a frequência angular (em \text{rad/s}), L é a indutância (em H) e j é a unidade imaginária ( j^2=-1 ). O indutor fornece uma reatância indutiva X_L=\omega L com sinal imaginário positivo.
  • Impedância do capacitor: Z_C = \frac{1}{j\,\omega C} = -\,\frac{j}{\omega C}.
O capacitor tem reatância capacitiva X_C = -1/(\omega C) (parte imaginária negativa).
  • Impedância de dois elementos em paralelo Z_a e Z_b: Z_{a\parallel b} = \frac{Z_a Z_b}{Z_a + Z_b}.
No nosso caso, Z_{p} = R_1 \parallel Z_L.
  • Elementos em série somam as impedâncias (rezistores e reatâncias): Z_{\text{tot}} = R_2 + Z_p + Z_C.
Também é útil escrever Z_p em forma real + j imaginária para somar facilmente com R_2 e Z_C. Vou deduzir essa forma agora (passo a passo algébrico muito didático).

Passo 3

Cálculo algébrico da impedância do paralelo R_1 \parallel L em forma real-imaginária.
Partimos de
Z_L = j\,\omega L,\qquad Z_{p}=\frac{R_1\cdot j\omega L}{R_1 + j\omega L}.
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado R_1 - j\omega L para separar real e imaginário:
Z_{p}=\frac{j R_1 \omega L (R_1 - j\omega L)}{R_1^2 + (\omega L)^2}.
Expandindo o numerador (lembrando j^2=-1):
j R_1 \omega L (R_1 - j\omega L) = j R_1^2 \omega L + R_1 \omega^2 L^2.
Portanto
Z_{p}=\frac{R_1 \omega^2 L^2}{R_1^2 + (\omega L)^2} \;+\; j\,\frac{R_1^2 \omega L}{R_1^2 + (\omega L)^2}.
Ou seja:
  • Parte real: \displaystyle \Re(Z_p)=\frac{R_1 \,\omega^2 L^2}{R_1^2 + \omega^2 L^2}.
  • Parte imaginária: \displaystyle \Im(Z_p)=\frac{R_1^2 \,\omega L}{R_1^2 + \omega^2 L^2}.
Esta forma é ótima porque a impedância total será
Z_{\text{tot}} = R_2 + \Re(Z_p) + j\!\left(\Im(Z_p) - \frac{1}{\omega C}\right),
já que Z_C=-j/( \omega C).
Agora aplico isso numericamente para as frequências pedidas.

Passo 4

Cálculo numérico para (a): \omega = 2000\\ \text{rad/s}.
Dados numéricos relevantes:
\omega = 2000,\quad L=5\times10^{-3}\\ \text{H},\quad R_1=20\\ \Omega,\quad R_2=5\\ \Omega,\quad C=25\times10^{-3}\\ \text{F}.
Calcule \omega L e \omega^2 L^2:
\omega L = 2000\cdot 5\times10^{-3} = 10\\ \Omega,
\omega^2 L^2 = (10)^2 = 100\\ (\Omega^2).
Calcule denominador R_1^2 + \omega^2 L^2 = 20^2 + 100 = 400 + 100 = 500.
Agora as partes de Z_p:
\Re(Z_p)=\frac{R_1\,\omega^2 L^2}{R_1^2 + \omega^2 L^2} = \frac{20\cdot 100}{500} = 4\\ \Omega,
\Im(Z_p)=\frac{R_1^2 \,\omega L}{R_1^2 + \omega^2 L^2} = \frac{400\cdot 10}{500} = 8\\ \Omega.
Logo Z_p = 4 + j\,8\\ \Omega.
Impedância do capacitor:
Z_C = -\frac{j}{\omega C} = -\frac{j}{2000\cdot 25\times10^{-3}} = -\frac{j}{50} = -j\,0,02\\ \Omega.
Somando em série com R_2:
Z_{\text{tot}} = R_2 + Z_p + Z_C = 5 + (4 + j\,8) - j\,0,02 = 9 + j\,(8-0,02).
Z_{\text{tot}} = 9 + j\,7,98\\ \Omega.
(Interpretação breve: a parte imaginária positiva indica uma reatância indutiva resultante líquida.)

Passo 5

Cálculo numérico para (b): \omega = 8000\\ \text{rad/s}.
Calcule \omega L e \omega^2 L^2:
\omega L = 8000\cdot 5\times10^{-3} = 40\\ \Omega,
\omega^2 L^2 = (40)^2 = 1600.
Denominador R_1^2 + \omega^2 L^2 = 400 + 1600 = 2000.
Partes de Z_p:
\Re(Z_p)=\frac{20\cdot 1600}{2000} = 16\\ \Omega,
\Im(Z_p)=\frac{400\cdot 40}{2000} = 8\\ \Omega.
Logo Z_p = 16 + j\,8\\ \Omega.
Capacitor:
Z_C = -\frac{j}{\omega C} = -\frac{j}{8000\cdot 25\times10^{-3}} = -\frac{j}{200} = -j\,0,005\\ \Omega.
Somando tudo com R_2:
Z_{\text{tot}} = 5 + (16 + j\,8) - j\,0,005 = 21 + j\,(8 - 0,005).
Z_{\text{tot}} = 21 + j\,7,995\\ \Omega.

Passo 6

Resolver (c): frequência finita \omega tal que Z_{\text{tot}} seja puramente resistiva.
Condição para ser puramente resistiva: parte imaginária nula:
\Im(Z_{\text{tot}})=\Im(Z_p) - \frac{1}{\omega C} = 0.
Substituindo a expressão de \Im(Z_p):
\frac{R_1^2\,\omega L}{R_1^2 + \omega^2 L^2} - \frac{1}{\omega C} = 0.
Multiplicando ambos os lados por \omega (R_1^2 + \omega^2 L^2):
R_1^2\,\omega^2 L = (R_1^2 + \omega^2 L^2)\frac{1}{C}.
Rearranjando:
R_1^2\,\omega^2 L C = R_1^2 + \omega^2 L^2.
Colocando termos em \omega^2 juntos:
\omega^2\bigl(R_1^2 L C - L^2\bigr) = R_1^2.
Logo
\omega^2 = \frac{R_1^2}{L\bigl(R_1^2 C - L\bigr)}.
Esta é a expressão fechada para a(s) possível(is) frequências; escolhemos a raiz positiva:
\omega = \sqrt{\frac{R_1^2}{L\bigl(R_1^2 C - L\bigr)}}.
Agora plugando os números:
R_1^2 = 20^2 = 400,\quad R_1^2 C = 400\cdot 25\times10^{-3} = 10,
L = 5\times10^{-3},\quad R_1^2 C - L = 10 - 0,005 = 9,995,
L\bigl(R_1^2 C - L\bigr) = 0,005\cdot 9,995 = 0,049975.
\omega^2 = \frac{400}{0,049975}\approx 8004,\quad \omega \approx \sqrt{8004}\approx 89,45\\ \text{rad/s}.
Portanto existe uma frequência finita positiva \omega\approx 89,45\\ \text{rad/s} que torna a impedância puramente resistiva.

Passo 7

Calcular (d): impedância total na frequência \omega_c\approx 89,45\\ \text{rad/s}.
Como por construção a parte imaginária é zero nessa frequência, a impedância total é simplesmente a soma das partes reais:
Z_{\text{tot}}(\omega_c)=R_2 + \Re(Z_p(\omega_c)).
Vamos calcular \Re(Z_p) nesta \omega_c.
Primeiro calcule \omega_c L:
\omega_c L \approx 89,45\cdot 0,005 \approx 0,44724\\ \Omega.
\omega_c^2 L^2 \approx (0,44724)^2 \approx 0,2001.
Denominador R_1^2 + \omega_c^2 L^2 \approx 400 + 0,2001 = 400,2001.
Agora
\Re(Z_p)=\frac{R_1\,\omega_c^2 L^2}{R_1^2 + \omega_c^2 L^2} \approx \frac{20\cdot 0,2001}{400,2001}\approx 0,009995\\ \Omega.
Portanto
Z_{\text{tot}}(\omega_c)\approx 5 + 0,009995 \approx 5,009995\\ \Omega \approx 5,01\\ \Omega.
Interpretação rápida e confortável: nessa frequência o capacitor fornece exatamente a reatância negativa necessária para cancelar a reatância indutiva resultante do ramo paralelo, deixando só uma pequena resistência adicional proveniente do efeito do paralelo R_1 \parallel L somada ao R_2.

Resposta

(a) Z_{\text{tot}}(2000)=9 + j\,7,98\\ \Omega
(b) Z_{\text{tot}}(8000)=21 + j\,7,995\\ \Omega
(c) \omega_c \approx 89,45\\ \text{rad/s}
(d) Z_{\text{tot}}(\omega_c) \approx 5,01\\ \Omega

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