Q 2: Considere a transformagāo linear T(x, y, z)= (x-2 y+z,-2 x+5 y, x-4 y-4 z).
Calcule B, a matrix que representa a INVERSA de T.
A entrada b_{22} vale:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
(F) 7
(G) 8
(H) 9
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z) = (x-2y+z,\;-2x+5y,\;x-4y-4z).
Pede-se calcular B, a matriz que representa a inversa de T, e então informar o valor da entrada b_{22} (a entrada na segunda linha e segunda coluna de B).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A transformação está escrita no sistema de coordenadas canônico; portanto a matriz A de T na base canônica é obtida aplicando T aos vetores canônicos (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).
A tarefa final é obter a entrada b_{22} da matriz inversa B=A^{-1}.
Passo 2
Vou construir a matriz A de T escrevendo as imagens dos vetores canônicos como colunas.
O que significa encontrar B=A^{-1}? Significa achar a matriz B tal que
A B = I_3,
onde I_3 é a identidade 3\times3. Vou usar eliminação de Gauss-Jordan sobre a matriz aumentada [A\mid I_3], que é um método sistemático para transformar A em I_3 aplicando operações elementares nas linhas; as mesmas operações aplicadas ao I_3 geram A^{-1}. Esse método é direto e adequado para cálculo manual de inversa 3×3.
Portanto a entrada b_{22} (segunda linha, segunda coluna de B) é 5. Vai dar tudo certo na prova — esse procedimento de Gauss-Jordan é muito útil e rápido quando praticado algumas vezes.]