Q 2: Considere a transformagāo linear T(x, y, z)=
(x-2 y+z,-2 x+5 y, x-4 y-4 z).
Calcule B, a matrix que representa a INVERSA de T.
A entrada b_{22} vale:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
(F) 7
(G) 8
(H) 9

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z) = (x-2y+z,\;-2x+5y,\;x-4y-4z).
Pede-se calcular B, a matriz que representa a inversa de T, e então informar o valor da entrada b_{22} (a entrada na segunda linha e segunda coluna de B).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A transformação está escrita no sistema de coordenadas canônico; portanto a matriz A de T na base canônica é obtida aplicando T aos vetores canônicos (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).
  • A tarefa final é obter a entrada b_{22} da matriz inversa B=A^{-1}.

Passo 2

Vou construir a matriz A de T escrevendo as imagens dos vetores canônicos como colunas.
  • T(1,0,0) = (1,-2,1).
  • T(0,1,0) = (-2,5,-4).
  • T(0,0,1) = (1,0,-4).
Portanto
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\[4pt] -2 & 5 & 0\\[4pt] 1 & -4 & -4 \end{pmatrix}.]

Passo 3

O que significa encontrar B=A^{-1}? Significa achar a matriz B tal que
A B = I_3,
onde I_3 é a identidade 3\times3. Vou usar eliminação de Gauss-Jordan sobre a matriz aumentada [A\mid I_3], que é um método sistemático para transformar A em I_3 aplicando operações elementares nas linhas; as mesmas operações aplicadas ao I_3 geram A^{-1}. Esse método é direto e adequado para cálculo manual de inversa 3×3.

Passo 4

Formo a matriz aumentada inicial [A\mid I_3]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] -2 & 5 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & -4 & -4 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Primeiro, uso a linha 1 como pivô e anulo as entradas abaixo e acima na coluna 1.
  1. Eliminar entrada em R_2: R_2\leftarrow R_2+2R_1.
R_2: \;[-2,5,0\mid 0,1,0] + 2[1,-2,1\mid1,0,0] = [0,1,2\mid2,1,0].
  1. Eliminar entrada em R_3: R_3\leftarrow R_3-R_1.
R_3: \;[1,-4,-4\mid0,0,1] - [1,-2,1\mid1,0,0] = [0,-2,-5\mid -1,0,1].
Após essas operações a matriz aumentada vira
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -2 & -5 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora uso R_2 (que já tem pivô 1 na coluna 2) para zerar as outras entradas da coluna 2.
  1. Eliminar coluna 2 em R_1: R_1\leftarrow R_1+2R_2.
    Cálculo das partes relevantes:
  • Entrada (1,3): 1 + 2\cdot 2 = 5.
  • Lado direito: [1,0,0] + 2[2,1,0] = [1+4,\;0+2,\;0+0] = [5,2,0].
    Logo R_1 fica [1,0,5\mid5,2,0].
  1. Eliminar coluna 2 em R_3: R_3\leftarrow R_3+2R_2.
    Cálculo:
  • Entrada (3,3): -5 + 2\cdot 2 = -1.
  • Lado direito: [-1,0,1] + 2[2,1,0] = [-1+4,\;0+2,\;1+0] = [3,2,1].
    Então R_3 fica [0,0,-1\mid3,2,1].
Agora a matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 5 & 5 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 3 & 2 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Por fim, trato a terceira coluna. Primeiro faço o pivô positivo: R_3\leftarrow -1\cdot R_3, obtendo
R_3 = [0,0,1\mid -3,-2,-1].
Agora anulo as entradas acima na coluna 3:
  1. R_1\leftarrow R_1 - 5R_3.
    Cálculo do lado direito:
    [5,2,0] - 5[-3,-2,-1] = [5+15,\;2+10,\;0+5] = [20,12,5].
    Então R_1 = [1,0,0\mid 20,12,5].
  2. R_2\leftarrow R_2 - 2R_3.
    Cálculo do lado direito:
    [2,1,0] - 2[-3,-2,-1] = [2+6,\;1+4,\;0+2] = [8,5,2].
    Então R_2 = [0,1,0\mid 8,5,2].
Agora a parte esquerda é a identidade e a parte direita é A^{-1}:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 20 & 12 & 5\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 8 & 5 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -3 & -2 & -1 \end{array}\right].]

Passo 7

Assim obtemos a matriz inversa
B = A^{-1} = \begin{pmatrix} 20 & 12 & 5\\[4pt] 8 & 5 & 2\\[4pt] -3 & -2 & -1 \end{pmatrix}.
Portanto a entrada b_{22} (segunda linha, segunda coluna de B) é 5. Vai dar tudo certo na prova — esse procedimento de Gauss-Jordan é muito útil e rápido quando praticado algumas vezes.]

Resposta

(D) 5

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