Assinale falso ou verdadeiro. Se a afirmaçāo for falsa, dê um contra exemplo. Se for verdadeira, prove.
() Dizernos que uma matriz
é idempotente se
. Se uma matriz
, è idermpotente, então
è idempotente.
() Dizernos que uma matriz
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (reformulação clara):
- Dado: uma matriz
satisfaz (isto é, é idempotente) e . - Afirmação a verificar: então
é idempotente, ou seja, será que ?
Vou trabalhar a partir dessas informações sem assumir nada mais. Primeiro vou manipular a expressão
usando
.
Passo 2
Definição e cálculo direto de
.
-
Lembrete didático: dizer que uma matriz
é idempotente significa simplesmente que . Aqui a operação é multiplicação de matrizes; subtração e multiplicação por escalares obedecem as regras usuais. -
Calculemos
:
Essa igualdade vem da expansão
aplicada com
,
. Como
, temos os termos mistos somando
.
Passo 3
Usando que
é idempotente (
) na expressão obtida.
Substituindo
em
obtemos
Portanto, para qualquer matriz
com
vale a identidade importante
Passo 4
Conclusão lógica sobre idempotência de
.
- Para
ser idempotente queremos . - Pela fórmula do passo anterior isso equivale a exigir
- Somando
aos dois lados obtém-se
Isto significa que ou
(isto é,
), ou que o escalar
é igual a
no corpo sobre o qual as entradas das matrizes estão (ou seja, o corpo tem característica
).
- Como o enunciado impõe
, a única maneira de ter sem contradizer é se o corpo tiver característica (isto é, se no corpo). Em corpos como ou (característica zero) isso não ocorre.
Passo 5
Contraexemplo concreto em um corpo usual (
ou
) mostrando que a afirmação é falsa no caso mais comum.
- Tome
a matriz nula (matriz de qualquer ordem) sobre . Então
ou seja,
é idempotente e claramente
.
- Calcule
:
- Verifique
:
pois em
(ou
) tem-se
.
Portanto este é um contraexemplo: existe
idempotente com
tal que
não é idempotente. Logo a afirmação é, em geral, falsa (pelo menos sobre corpos de característica diferente de
, como
).
Passo 6
Observação importante (caso especial): quando a afirmação fica verdadeira.
- Se as entradas das matrizes estiverem em um corpo de característica
(por exemplo o corpo ), então e a identidade do passo 3 dá
porque
em característica
. Assim, nesse caso particular qualquer
idempotente satisfaz
idempotente. Por exemplo, sobre
a matriz
tem
, que é idempotente.
- Resumo: a afirmação é falsa em geral (por exemplo sobre
ou ); é verdadeira exatamente quando o corpo base tem característica .
Resposta
Falso.