Assinale falso ou verdadeiro. Se a afirmaçāo for falsa, dê um contra exemplo. Se for verdadeira, prove.
() Dizernos que uma matriz A é idempotente se A^{2}=A. Se uma matriz A, A \neq I, è idermpotente, então A-I è idempotente.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (reformulação clara):
  • Dado: uma matriz A satisfaz A^{2}=A (isto é, A é idempotente) e A\neq I.
  • Afirmação a verificar: então A-I é idempotente, ou seja, será que (A-I)^{2}=A-I?
Vou trabalhar a partir dessas informações sem assumir nada mais. Primeiro vou manipular a expressão (A-I)^{2} usando A^{2}=A.

Passo 2

Definição e cálculo direto de (A-I)^{2}.
  • Lembrete didático: dizer que uma matriz M é idempotente significa simplesmente que M^{2}=M. Aqui a operação é multiplicação de matrizes; subtração e multiplicação por escalares obedecem as regras usuais.
  • Calculemos (A-I)^{2}:
(A-I)^{2}=A^{2}-2A+I.
Essa igualdade vem da expansão (X-Y)^{2}=X^{2}-XY-YX+Y^{2} aplicada com X=A, Y=I. Como AI=IA=A, temos os termos mistos somando -A - A = -2A.

Passo 3

Usando que A é idempotente ( A^{2}=A) na expressão obtida.
Substituindo A^{2}=A em (A-I)^{2}=A^{2}-2A+I obtemos
(A-I)^{2}=A-2A+I=-A+I=-(A-I).
Portanto, para qualquer matriz A com A^{2}=A vale a identidade importante
(A-I)^{2}=-(A-I).

Passo 4

Conclusão lógica sobre idempotência de A-I.
  • Para A-I ser idempotente queremos (A-I)^{2}=A-I.
  • Pela fórmula do passo anterior isso equivale a exigir
-(A-I)=A-I.
  • Somando A-I aos dois lados obtém-se
2(A-I)=0.
Isto significa que ou A-I=0 (isto é, A=I), ou que o escalar 2 é igual a 0 no corpo sobre o qual as entradas das matrizes estão (ou seja, o corpo tem característica 2).
  • Como o enunciado impõe A\neq I, a única maneira de ter 2(A-I)=0 sem contradizer A\neq I é se o corpo tiver característica 2 (isto é, se 2=0 no corpo). Em corpos como \mathbb{R} ou \mathbb{C} (característica zero) isso não ocorre.

Passo 5

Contraexemplo concreto em um corpo usual ( \mathbb{R} ou \mathbb{C}) mostrando que a afirmação é falsa no caso mais comum.
  • Tome A a matriz nula (matriz 0 de qualquer ordem) sobre \mathbb{R}. Então
A^{2}=0=A,
ou seja, A é idempotente e claramente A\neq I.
  • Calcule A-I:
A-I=0-I=-I.
  • Verifique (A-I)^{2}:
(A-I)^{2}=(-I)^{2}=I\neq -I=A-I,
pois em \mathbb{R} (ou \mathbb{C}) tem-se I\neq -I.
Portanto este é um contraexemplo: existe A idempotente com A\neq I tal que A-I não é idempotente. Logo a afirmação é, em geral, falsa (pelo menos sobre corpos de característica diferente de 2, como \mathbb{R}).

Passo 6

Observação importante (caso especial): quando a afirmação fica verdadeira.
  • Se as entradas das matrizes estiverem em um corpo de característica 2 (por exemplo o corpo \mathbb{F}_{2}=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}), então 2=0 e a identidade do passo 3 dá
(A-I)^{2}=-(A-I)=(A-I),
porque -1=1 em característica 2. Assim, nesse caso particular qualquer A idempotente satisfaz A-I idempotente. Por exemplo, sobre \mathbb{F}_{2} a matriz A=0 tem A-I=I, que é idempotente.
  • Resumo: a afirmação é falsa em geral (por exemplo sobre \mathbb{R} ou \mathbb{C}); é verdadeira exatamente quando o corpo base tem característica 2.

Resposta

Falso.

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