Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,-2)=(1,-3,1) e T(-2,5)=(-2,5,-4).
Determine a matrix A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{21} da matriz A vale:
(A) -5
(B) -4
(C) -3
(D) -2
(E) -1
(F) 0
(G) 1
(H) 2
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e informa as imagens de dois vetores:
T(1,-2)=(1,-3,1).
T(-2,5)=(-2,5,-4).
O que é pedido: determinar a entrada a_{21} da matriz A tal que
T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},
isto é, o elemento na segunda linha e primeira coluna da matriz A.
Passo 2
Vamos representar as colunas da matriz A por vetores desconhecidos. Se escrevemos
Explicação curta do porquê: aplicar A a \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} dá x vezes a primeira coluna mais y vezes a segunda coluna, que corresponde à linearidade de T.]
Passo 3
Usando linearidade de T e as combinações dadas pelos vetores do enunciado, escrevemos duas equações vetoriais em u e v.
Vamos resolver o sistema vetorial para u e v. Uma forma prática é eliminar u ou v por combinação linear das equações. Multiplicando a primeira equação por 2 obtemos
2u-4v=2p.
Somando essa equação à segunda (-2u+5v=q) cancela u:
Portanto a entrada pedida a_{21} (segunda linha, primeira coluna) é o segundo componente de u, isto é -5.
Força aí! Dá pra entender: primeiro escrevemos as equações vetoriais usando linearidade, resolvemos o sistema por eliminação e lemos a entrada pedida direto da coluna obtida.]