Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz:
T(1,-2)=(1,-3,1) e T(-2,5)=(-2,5,-4).
Determine a matrix A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{21} da matriz A vale:
(A) -5
(B) -4
(C) -3
(D) -2
(E) -1
(F) 0
(G) 1
(H) 2

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e informa as imagens de dois vetores:
  • T(1,-2)=(1,-3,1).
  • T(-2,5)=(-2,5,-4).
O que é pedido: determinar a entrada a_{21} da matriz A tal que
T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},
isto é, o elemento na segunda linha e primeira coluna da matriz A.

Passo 2

Vamos representar as colunas da matriz A por vetores desconhecidos. Se escrevemos
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22}\\[4pt] a_{31} & a_{32} \end{pmatrix},
então as colunas são
u:=\begin{pmatrix}a_{11}\\[4pt]a_{21}\\[4pt]a_{31}\end{pmatrix}=T(1,0), \qquad v:=\begin{pmatrix}a_{12}\\[4pt]a_{22}\\[4pt]a_{32}\end{pmatrix}=T(0,1).
Explicação curta do porquê: aplicar A a \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} x vezes a primeira coluna mais y vezes a segunda coluna, que corresponde à linearidade de T.]

Passo 3

Usando linearidade de T e as combinações dadas pelos vetores do enunciado, escrevemos duas equações vetoriais em u e v.
Como (1,-2)=1\cdot(1,0)+(-2)\cdot(0,1), tem-se
T(1,-2)=u-2v=(1,-3,1).
Como (-2,5)=-2\cdot(1,0)+5\cdot(0,1), tem-se
T(-2,5)=-2u+5v=(-2,5,-4).
Para simplificar a notação, defina
p:=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad q:=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]5\\[4pt]-4\end{pmatrix}.
As equações são então
u-2v=p,\qquad -2u+5v=q.]

Passo 4

Vamos resolver o sistema vetorial para u e v. Uma forma prática é eliminar u ou v por combinação linear das equações. Multiplicando a primeira equação por 2 obtemos
2u-4v=2p.
Somando essa equação à segunda (-2u+5v=q) cancela u:
(2u-4v)+(-2u+5v)=2p+q \quad\Rightarrow\quad v=2p+q.

Passo 5

Calculemos v explicitamente:
v=2p+q=2\begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\\[4pt]1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2\\[4pt]5\\[4pt]-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\[4pt]-6\\[4pt]2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2\\[4pt]5\\[4pt]-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Logo
v=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora voltamos à primeira equação u-2v=p para encontrar u:
u=p+2v.
Substituindo p e v:
u=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\\[4pt]1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\\[4pt]-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\\[4pt]1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\[4pt]-2\\[4pt]-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]-5\\[4pt]-3\end{pmatrix}.]

Passo 7

Interpretando u e v como colunas da matriz A, temos
A=\begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] -5 & -1\\[4pt] -3 & -2 \end{pmatrix}.
Portanto a entrada pedida a_{21} (segunda linha, primeira coluna) é o segundo componente de u, isto é -5.
Força aí! Dá pra entender: primeiro escrevemos as equações vetoriais usando linearidade, resolvemos o sistema por eliminação e lemos a entrada pedida direto da coluna obtida.]

Resposta

(A) -5

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