Considere uma corda de 4,8 \mathrm{~m} e 0,43 \mathrm{~kg} de massa, oscilando com amplitude máxima de 0,5 \mathrm{~m}. Dado que a frequência da onda transversal emitida por esta corda é 65 Hz com comprimento de onda de 0,60 \mathrm{~m}, assinale a(s) alternativa(s) correta(s):
□ a. A velocidade de um elemento da corda no instante inicial, no ponto x=\lambda / 4, vale, aproximadamente, 1,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
□ b. Nesta configuração, a corda produz 10 harmônicos.
□ c. A tensão na corda para que sejam produzidos apenas 4 harmônicos, deve ser, aproximadamente, 2180 N .
□ d. A velocidade de um elemento da corda é constante igual a 39 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
□ e. A frequência angular desta onda é dada por 408,4 rad/s e a tensão na corda deve ser, aproximadamente, 136,3 \mathrm{~N}.
□ f. A aceleração de um elemento da corda no instante inicial, no ponto x=\lambda / 4, vale, aproximadamente, 83398 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede que eu verifique quais das alternativas são corretas, dadas as informações sobre uma corda vibrante. As perguntas implícitas são: quais alternativas (a) a (f) são verdadeiras?\n
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
L=4{,}8\\ \mathrm{m},\quad m=0{,}43\\ \mathrm{kg},\quad A=0{,}5\\ \mathrm{m},
f=65\\ \mathrm{Hz},\quad \lambda=0{,}60\\ \mathrm{m}.
Eu devo checar cada alternativa (a) a (f) usando esses dados e fórmulas apropriadas, e retornar quais estão corretas.

Passo 2

Calcular a densidade linear de massa da corda (massa por unidade de comprimento), que é uma quantidade básica e será usada para tensão:
\mu=\frac{m}{L}.
Substituindo:
\mu=\frac{0{,}43}{4{,}8}\\ \mathrm{kg/m}=0{,}0895833\ldots\\ \mathrm{kg/m}.
Explicação didática: \mu diz quanto de massa existe por metro da corda; é importante porque a velocidade de propagação da onda na corda depende da tensão e de \mu.

Passo 3

Calcular a velocidade de propagação da onda usando a relação entre frequência, comprimento de onda e velocidade:
v=f\lambda.
Substituindo:
v=65\times 0{,}60\\ \mathrm{m/s}=39\\ \mathrm{m/s}.
A interpretação: v é a velocidade com que a crista (padrão da onda) viaja ao longo da corda — não é a velocidade de uma partícula da corda (essa varia no tempo).

Passo 4

Calcular a frequência angular \omega, que aparece nas expressões de velocidade e aceleração das partículas:
\omega=2\pi f.
Substituindo:
\omega=2\pi\cdot 65=130\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 408{,}407\\ \mathrm{rad/s}.
Didática: \omega mede a rapidez angular com que a oscilação temporal ocorre; é usada quando derivamos em relação ao tempo.

Passo 5

Calcular o número de onda k (vai aparecer ao avaliar funções em posições específicas):
k=\frac{2\pi}{\lambda}.
Substituindo:
k=\frac{2\pi}{0{,}60}=\frac{10\pi}{3}\\ \mathrm{rad/m}\approx 10{,}472\\ \mathrm{rad/m}.
Observação útil: quando avaliarmos em x=\lambda/4, teremos kx=\frac{2\pi}{\lambda}\cdot\frac{\lambda}{4}=\frac{\pi}{2}, o que simplifica senos e cossenos.

Passo 6

Verificação da alternativa (a): “A velocidade de um elemento da corda no instante inicial, no ponto x=\lambda/4, vale, aproximadamente, 1{,}2\\ \mathrm{m/s}.”
Usamos a forma de onda transversal (onda progressiva harmônica, forma padrão):
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t).
A velocidade transversal de uma partícula da corda é a derivada temporal:
v_y(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t}=-A\omega\cos(kx-\omega t).
No instante inicial t=0 e em x=\lambda/4 temos kx=\pi/2. Então
v_y\bigl(x=\lambda/4,t=0\bigr)=-A\omega\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=-A\omega\cdot 0=0.
Conclusão: a velocidade é 0, não 1{,}2\\ \mathrm{m/s}. Portanto a alternativa (a) é falsa.

Passo 7

Verificação da alternativa (d): “A velocidade de um elemento da corda é constante igual a 39\\ \mathrm{m/s}.”
Esclarecimento didático: 39\\ \mathrm{m/s} é a velocidade de propagação da onda v (veja Passo 3). A velocidade de um elemento da corda (velocidade transversal) é v_y(x,t)=-A\omega\cos(kx-\omega t), que depende de x e t; não é constante e seu valor máximo (em módulo) é
|v_{y,\max}|=A\omega.
Calculemos esse máximo para ter ideia numérica:
A\omega=0{,}5\times 408{,}407\\ \mathrm{m/s}\approx 204{,}204\\ \mathrm{m/s},
muito maior que 39\\ \mathrm{m/s}. Logo a afirmação de que a velocidade do elemento é constante e igual a 39\\ \mathrm{m/s} é falsa.

Passo 8

Verificação da alternativa (f): “A aceleração de um elemento da corda no instante inicial, no ponto x=\lambda/4, vale, aproximadamente, 83398\\ \mathrm{m/s^2}.”
A aceleração transversal é a segunda derivada temporal:
a_y(x,t)=\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=-A\omega^2\sin(kx-\omega t).
Em t=0 e x=\lambda/4 temos kx=\pi/2 e \sin(\pi/2)=1, então
a_y\bigl(x=\lambda/4,t=0\bigr)=-A\omega^2=-0{,}5\cdot \omega^2.
Magnitude:
|a_y|=A\omega^2=0{,}5\times(408{,}407\ldots)^2\approx 83398\\ \mathrm{m/s^2}.
Isso coincide com o valor indicado. Portanto a alternativa (f) é verdadeira.

Passo 9

Verificação da alternativa (b): “Nesta configuração, a corda produz 10 harmônicos.”
Explicação didática sobre harmônicos em uma corda fixa nas duas extremidades: os modos normais têm comprimentos de onda
\lambda_n=\frac{2L}{n},\quad n=1,2,3,\ldots,
ou equivalentemente os números n que satisfazem n=\frac{2L}{\lambda} quando uma onda com comprimento de onda \lambda forma um modo estacionário. Com os dados:
n=\frac{2L}{\lambda}=\frac{2\times 4{,}8}{0{,}60}=\frac{9{,}6}{0{,}60}=16.
Portanto a onda dada corresponde ao n=16-ésimo harmônico, não ao 10.º. Logo a alternativa (b) é falsa.

Passo 10

Verificação da alternativa (c): “A tensão na corda para que sejam produzidos apenas 4 harmônicos, deve ser, aproximadamente, 2180\\ \mathrm{N}.”
Interpretação razoável (e padrão nesse tipo de questão): queremos ajustar a tensão para que a onda excitada de frequência f=65\\ \mathrm{Hz} corresponda ao n=4 (ou seja, que a corda vibre no 4.º harmônico). Para n=4 o comprimento de onda do modo é
\lambda_4=\frac{2L}{4}=\frac{L}{2}=\frac{4{,}8}{2}=2{,}4\\ \mathrm{m}.
A velocidade necessária para que uma onda com frequência f tenha esse \lambda é
v_4=f\lambda_4=65\times 2{,}4=156\\ \mathrm{m/s}.
A relação entre velocidade, tensão T e densidade linear \mu é
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\quad\Rightarrow\quad T=\mu v^2.
Substituindo:
T=\mu v_4^2=0{,}0895833\ldots\times 156^2\approx 2180\\ \mathrm{N}.
Isso coincide com o valor indicado em (c). Portanto a alternativa (c) é verdadeira.

Passo 11

Verificação da alternativa (e): “A frequência angular desta onda é dada por 408{,}4\\ \mathrm{rad/s} e a tensão na corda deve ser, aproximadamente, 136{,}3\\ \mathrm{N}.”
Já calculamos a frequência angular no Passo 4:
\omega=2\pi f=130\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 408{,}407\\ \mathrm{rad/s},
que arredondado é 408{,}4\\ \mathrm{rad/s} — está correto. Para a tensão atual (com v=39\\ \mathrm{m/s} do Passo 3) calculamos:
T=\mu v^2=0{,}0895833\ldots\times 39^2=0{,}0895833\ldots\times 1521\approx 136{,}3\\ \mathrm{N}.
Portanto ambos os números em (e) estão corretos; a alternativa (e) é verdadeira.

Passo 12

Resumo das verificações:
  • (a) falsa (velocidade do elemento no ponto dado e instante t=0 é zero).
  • (b) falsa (o número de harmônicos correspondente é 16, não 10).
  • (c) verdadeira (tensão ≈ 2180\\ \mathrm{N} para que a onda corresponda ao 4.º harmônico).
  • (d) falsa (39 m/s é velocidade de propagação, não velocidade constante de partículas).
  • (e) verdadeira ( \omega\approx 408{,}4\\ \mathrm{rad/s} e T\approx 136{,}3\\ \mathrm{N} ).
  • (f) verdadeira (aceleração em x=\lambda/4,\\ t=0 tem magnitude ≈ 83398\\ \mathrm{m/s^2}).

Resposta

c
e
f

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