Considere uma corda de
e
de massa, oscilando com amplitude máxima de
. Dado que a frequência da onda transversal emitida por esta corda é 65 Hz com comprimento de onda de
, assinale a(s) alternativa(s) correta(s):
□ a. A velocidade de um elemento da corda no instante inicial, no ponto
, vale, aproximadamente,
.
□ b. Nesta configuração, a corda produz 10 harmônicos.
□ c. A tensão na corda para que sejam produzidos apenas 4 harmônicos, deve ser, aproximadamente, 2180 N .
□ d. A velocidade de um elemento da corda é constante igual a
.
□ e. A frequência angular desta onda é dada por 408,4 rad/s e a tensão na corda deve ser, aproximadamente,
.
□ f. A aceleração de um elemento da corda no instante inicial, no ponto
, vale, aproximadamente,
.
□ a. A velocidade de um elemento da corda no instante inicial, no ponto
□ b. Nesta configuração, a corda produz 10 harmônicos.
□ c. A tensão na corda para que sejam produzidos apenas 4 harmônicos, deve ser, aproximadamente, 2180 N .
□ d. A velocidade de um elemento da corda é constante igual a
□ e. A frequência angular desta onda é dada por 408,4 rad/s e a tensão na corda deve ser, aproximadamente,
□ f. A aceleração de um elemento da corda no instante inicial, no ponto
Passo 1
O enunciado pede que eu verifique quais das alternativas são corretas, dadas as informações sobre uma corda vibrante. As perguntas implícitas são: quais alternativas (a) a (f) são verdadeiras?\n
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Eu devo checar cada alternativa (a) a (f) usando esses dados e fórmulas apropriadas, e retornar quais estão corretas.
Passo 2
Calcular a densidade linear de massa da corda (massa por unidade de comprimento), que é uma quantidade básica e será usada para tensão:
Substituindo:
Explicação didática:
diz quanto de massa existe por metro da corda; é importante porque a velocidade de propagação da onda na corda depende da tensão e de
.
Passo 3
Calcular a velocidade de propagação da onda usando a relação entre frequência, comprimento de onda e velocidade:
Substituindo:
A interpretação:
é a velocidade com que a crista (padrão da onda) viaja ao longo da corda — não é a velocidade de uma partícula da corda (essa varia no tempo).
Passo 4
Calcular a frequência angular
, que aparece nas expressões de velocidade e aceleração das partículas:
Substituindo:
Didática:
mede a rapidez angular com que a oscilação temporal ocorre; é usada quando derivamos em relação ao tempo.
Passo 5
Calcular o número de onda
(vai aparecer ao avaliar funções em posições específicas):
Substituindo:
Observação útil: quando avaliarmos em
, teremos
, o que simplifica senos e cossenos.
Passo 6
Verificação da alternativa (a): “A velocidade de um elemento da corda no instante inicial, no ponto
, vale, aproximadamente,
.”
Usamos a forma de onda transversal (onda progressiva harmônica, forma padrão):
A velocidade transversal de uma partícula da corda é a derivada temporal:
No instante inicial
e em
temos
. Então
Conclusão: a velocidade é
, não
. Portanto a alternativa (a) é falsa.
Passo 7
Verificação da alternativa (d): “A velocidade de um elemento da corda é constante igual a
.”
Esclarecimento didático:
é a velocidade de propagação da onda
(veja Passo 3). A velocidade de um elemento da corda (velocidade transversal) é
, que depende de
e
; não é constante e seu valor máximo (em módulo) é
Calculemos esse máximo para ter ideia numérica:
muito maior que
. Logo a afirmação de que a velocidade do elemento é constante e igual a
é falsa.
Passo 8
Verificação da alternativa (f): “A aceleração de um elemento da corda no instante inicial, no ponto
, vale, aproximadamente,
.”
A aceleração transversal é a segunda derivada temporal:
Em
e
temos
e
, então
Magnitude:
Isso coincide com o valor indicado. Portanto a alternativa (f) é verdadeira.
Passo 9
Verificação da alternativa (b): “Nesta configuração, a corda produz 10 harmônicos.”
Explicação didática sobre harmônicos em uma corda fixa nas duas extremidades: os modos normais têm comprimentos de onda
ou equivalentemente os números
que satisfazem
quando uma onda com comprimento de onda
forma um modo estacionário. Com os dados:
Portanto a onda dada corresponde ao
-ésimo harmônico, não ao 10.º. Logo a alternativa (b) é falsa.
Passo 10
Verificação da alternativa (c): “A tensão na corda para que sejam produzidos apenas 4 harmônicos, deve ser, aproximadamente,
.”
Interpretação razoável (e padrão nesse tipo de questão): queremos ajustar a tensão para que a onda excitada de frequência
corresponda ao
(ou seja, que a corda vibre no 4.º harmônico). Para
o comprimento de onda do modo é
A velocidade necessária para que uma onda com frequência
tenha esse
é
A relação entre velocidade, tensão
e densidade linear
é
Substituindo:
Isso coincide com o valor indicado em (c). Portanto a alternativa (c) é verdadeira.
Passo 11
Verificação da alternativa (e): “A frequência angular desta onda é dada por
e a tensão na corda deve ser, aproximadamente,
.”
Já calculamos a frequência angular no Passo 4:
que arredondado é
— está correto. Para a tensão atual (com
do Passo 3) calculamos:
Portanto ambos os números em (e) estão corretos; a alternativa (e) é verdadeira.
Passo 12
Resumo das verificações:
- (a) falsa (velocidade do elemento no ponto dado e instante
é zero). - (b) falsa (o número de harmônicos correspondente é
, não ). - (c) verdadeira (tensão ≈
para que a onda corresponda ao 4.º harmônico). - (d) falsa (39 m/s é velocidade de propagação, não velocidade constante de partículas).
- (e) verdadeira (
e ). - (f) verdadeira (aceleração em
tem magnitude ≈ ).
Resposta
c
e
f
e
f