Uma bobina retangular com 20 enrolamentos é percorrida por uma corrente de 2,00 \mathrm{~mA} fluindo no sentido anti-horário. Possui dois lados paralelos ao eixo y com comprimento de 8,00 \mathrm{~cm} e dois lados paralelos ao eixo x com comprimento de 6,00 \mathrm{~cm}. Um campo magnético uniforme de 50,0 \mu \mathrm{~T} atua na direção x positiva. Qual torque deve ser aplicado ao arranjo para mantê-lo estável? (Resposta em nNm e com duas casas decimais)

Passo 1

O enunciado pede o torque que deve ser aplicado ao arranjo de uma bobina retangular para mantê‑lo estável. Dados fornecidos:
N=20
I=2{,}00\\ \mathrm{mA}
\text{lados paralelos a }y:\\\ 8{,}00\\ \mathrm{cm}
\text{lados paralelos a }x:\\\ 6{,}00\\ \mathrm{cm}
\mathbf{B}=50{,}0\\ \mu\mathrm{T}\\ \text{na direção }+xçã
A pergunta é: qual torque deve ser aplicado ao arranjo para mantê‑lo estável? Vou encontrar o módulo do torque necessário (o torque externo terá o mesmo módulo e sentido oposto ao torque magnético).

Passo 2

Conceito importante: um loop de corrente tem um momento magnético (momento dipolar) dado por
\boldsymbol{\mu}=N I A\,\hat{n},
onde N é o número de espiras, I é a corrente, A é a área da espira, e \hat{n} é um vetor unitário perpendicular ao plano da espira seguindo a regra da mão direita (polegar aponta para \hat{n} se os dedos seguem a direção da corrente). O módulo do torque magnético sobre o dipolo é
\tau = \mu B \sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \boldsymbol{\mu} e \mathbf{B}. Em palavras: o campo tende a girar o dipolo até alinhar \boldsymbol{\mu} com \mathbf{B}, e o torque é proporcional a \mu B\sin\theta.

Passo 3

Determinar a área da espira e converter unidades para o SI. Comprimentos:
8{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}08\\ \mathrm{m},\qquad 6{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}06\\ \mathrm{m}.
A área da espira retangular é base \times altura, logo
A = 0{,}08\\ \mathrm{m}\times 0{,}06\\ \mathrm{m}=0{,}0048\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Converter a corrente e o campo para SI:
I = 2{,}00\\ \mathrm{mA}=2{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{A},
B = 50{,}0\\ \mu\mathrm{T}=50{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{T}=5{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{T}.

Passo 5

Calcular o momento magnético (módulo):
\mu = N I A.
Substituindo os números passo a passo:
I\cdot A = 2{,}00\times10^{-3}\cdot 0{,}0048 = 9{,}60\times10^{-6}\\ \mathrm{A\cdot m}^2,
\mu = 20\cdot 9{,}60\times10^{-6} = 1{,}92\times10^{-4}\\ \mathrm{A\cdot m}^2.

Passo 6

Determinar o ângulo \theta entre \boldsymbol{\mu} e \mathbf{B}. A espira está no plano xy, então \boldsymbol{\mu} é perpendicular a esse plano (no eixo z); \mathbf{B} está ao longo de +x. Logo \theta=90^\circ e \sin\theta=1. Assim o torque máximo é
\tau=\mu B.

Passo 7

Calcular o valor numérico do torque:
\tau = 1{,}92\times10^{-4}\cdot 5{,}0\times10^{-5} = 9{,}60\times10^{-9}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Converter para \mathrm{nNm} (1 \mathrm{nNm}=10^{-9}\\ \mathrm{N\cdot m}):
\tau = 9{,}60\\ \mathrm{nNm}.
Comentário amigo: o torque indicado é o módulo; para manter o arranjo estável você aplica um torque externo com mesmo módulo e sentido oposto ao torque magnético.

Resposta

9,60\\ \mathrm{nNm}

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