Considere um triângulo A B C com \widehat{B} e \widehat{C} agudos. Determine um quadrado com um de seus lados contido no lado BC e os outros dois vértices pertencentes, respectivamente, nos outros dois lados do triângulo.

Passo 1

Resumindo: temos o triângulo ABC com \widehat B e \widehat C agudos e queremos inscrever um quadrado KLMN de tal modo que
– o lado KL fique contido em BC,
– o vértice N caia em AB e
– o vértice M caia em AC.
Para resolver, vamos usar geometria analítica: colocamos BC ao longo do eixo x e escrevemos as condições de colinearidade de N com AB e de M com AC.

Passo 2

Escolhemos coordenadas:
B=(0,0),\quad C=(a,0),\quad A=(d,h),
onde a=BC, h é a altura de A em relação a BC e d=BD é a projeção de A em BC.
Suponha que o quadrado tenha lado de comprimento s e base KL com
K=(x,0),\quad L=(x+s,0).
Então os outros vértices são
N=(x,s),\quad M=(x+s,s).

Passo 3

Para que N pertença à reta AB, os vetores \overrightarrow{BN}=(x,s) e \overrightarrow{BA}=(d,h) devem ser proporcionais. Logo existe \mu tal que
(x,s)=\mu\,(d,h).
Das segundas componentes vem \mu=\tfrac{s}{h} e da primeira
x=\frac{d}{h}\,s.

Passo 4

Para que M pertença à reta AC, existe \lambda com
(x+s,s)=A+\lambda\,(C-A) =(d,h)+\lambda\bigl((a,0)-(d,h)\bigr).
Das segundas componentes obtém-se
s=h(1-\lambda)\quad\Longrightarrow\quad\lambda=1-\frac{s}{h},
e das primeiras
x+s=d+\lambda\,(a-d) =d+(a-d)\Bigl(1-\frac{s}{h}\Bigr) =a-\frac{(a-d)\,s}{h}.
Substituindo x=(d/h)s e igualando ao termo acima:
\frac{d}{h}s+s =a-\frac{(a-d)\,s}{h} \;\Longrightarrow\; s\,\frac{a+h}{h}=a \;\Longrightarrow\; s=\frac{a\,h}{a+h}.

Passo 5

Já temos o lado do quadrado:
s=\frac{BC\;\cdot\;h_A}{BC+h_A}.
E a posição de K sobre BC é
x=\frac{d}{h}\,s =\frac{BD}{h_A}\,\frac{BC\,h_A}{BC+h_A} =\frac{BD\;\cdot\;BC}{BC+h_A}.
Assim K e L estão em
K\bigl(\tfrac{BD\cdot BC}{BC+h_A},\,0\bigr), \quad L\bigl(\tfrac{BD\cdot BC}{BC+h_A}+s,\,0\bigr).

Resposta

O quadrado inscrito tem lado
s=\frac{BC\;\cdot\;h_A}{BC+h_A},
onde h_A é a altura de A em BC. A sua base KL\subset BC vai de
K\Bigl(\tfrac{BD\cdot BC}{BC+h_A},0\Bigr) \quad\text{a}\quad L\Bigl(\tfrac{BD\cdot BC}{BC+h_A}+\tfrac{BC\,h_A}{BC+h_A},0\Bigr),
e os vértices superiores caem em AB e AC nas posições
N=(x,s),\quad M=(x+s,s).

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