Considere um triângulo A B C com \widehat{B} e \widehat{C} agudos. Determine um quadrado com um de seus lados contido no lado BC e os outros dois vértices pertencentes, respectivamente, nos outros dois lados do triângulo.
Passo 1
Resumindo: temos o triângulo ABC com \widehat B e \widehat C agudos e queremos inscrever um quadrado KLMN de tal modo que
– o lado KL fique contido em BC,
– o vértice N caia em AB e
– o vértice M caia em AC.
Para resolver, vamos usar geometria analítica: colocamos BC ao longo do eixo x e escrevemos as condições de colinearidade de N com AB e de M com AC.
Passo 2
Escolhemos coordenadas:
B=(0,0),\quad C=(a,0),\quad A=(d,h),
onde a=BC, h é a altura de A em relação a BC e d=BD é a projeção de A em BC.
Suponha que o quadrado tenha lado de comprimento s e base KL com
K=(x,0),\quad L=(x+s,0).
Então os outros vértices são
N=(x,s),\quad M=(x+s,s).
Passo 3
Para que N pertença à reta AB, os vetores \overrightarrow{BN}=(x,s) e \overrightarrow{BA}=(d,h) devem ser proporcionais. Logo existe \mu tal que
(x,s)=\mu\,(d,h).
Das segundas componentes vem \mu=\tfrac{s}{h} e da primeira