Meça a largura de um rio, sem atravessá-lo. Sugestão: Considere um ponto P à distância a da margem e, a partir dele, perpendicularmente à margem, considere um ponto Q da margem oposta. De P, trace uma perpendicular à reta P Q e marque, sobre ela, um ponto R à distância b de P. A partir de R, observe os pontos P e Q e obtenha a medida do ângulo P R Q. Indique os cálculos necessários para determinar a largura do rio.

Passo 1

Vamos desenhar o seguinte cenário em planta: as margens do rio são duas retas paralelas distantes W uma da outra. Marcamos um ponto P a uma distância a da margem mais próxima. A partir de P traçamos a perpendicular a essa margem até encontrar a margem oposta em Q. Em seguida, em P traçamos a perpendicular à reta PQ e marcamos sobre ela um ponto R de modo que PR=b. Medimos no ponto R o ângulo \varphi=\angle PRQ. Nosso objetivo é achar W em função de a, b e \varphi.

Passo 2

No triângulo PQR temos PR\perp PQ, logo \angle RPQ=90^\circ. Assim, aplicando a definição de tangente no ângulo \varphi=\angle PRQ:
\tan(\varphi)\;=\;\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} \;=\;\frac{PQ}{PR} \;\Longrightarrow\; PQ \;=\; PR\;\tan(\varphi) \;=\;b\,\tan(\varphi).

Passo 3

A largura W do rio é a distância entre as duas margens. Como P fica a \emph{a} da margem mais próxima, o trecho restante até a margem oposta é
W \;=\; a \;+\; PQ \;=\; a \;+\; b\,\tan(\varphi).

Resposta

A largura do rio é
W \;=\; a \;+\; b\,\tan\bigl(\angle PRQ\bigr).

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