Seja
a bissetriz do ângulo
de um triângulo
. Sendo
o semiperímetro
do triângulo mostre que
Sugcstão. Encontre inicialmente
e
em função dos lados do triângulo. Em seguida, use a Lei dos Cossenos.
do triângulo mostre que
Passo 1
O enunciado pede o comprimento da bissetriz interna
do ângulo em
num triângulo
cujos lados valem
,
e
. O semiperímetro é
Para resolver, vamos usar:
– o Teorema da bissetriz (relação entre e
);
– o Teorema de Stewart aplicado ao ceviano .
– o Teorema da bissetriz (relação entre
– o Teorema de Stewart aplicado ao ceviano
Passo 2
Pela propriedade da bissetriz interna, a razão dos segmentos em que
divide
é igual à razão dos lados adjacentes:
Como
, resolvemos
Passo 3
O Teorema de Stewart no triângulo
com ceviana
(de comprimento
) dá:
Substituímos
e
do passo anterior.
Passo 4
Calculemos primeiro o numerador do lado esquerdo:
Logo Stewart vira
E
Passo 5
Assim
Mas
logo