Seja \overline{A P} a bissetriz do ângulo A de um triângulo A B C. Sendo p o semiperímetro
do triângulo mostre que
A P=\frac{2}{b+c} \sqrt{b c p(p-a)}
Sugcstão. Encontre inicialmente P B e P C em função dos lados do triângulo. Em seguida, use a Lei dos Cossenos.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da bissetriz interna AP do ângulo em A num triângulo ABC cujos lados valem BC=a, CA=b e AB=c. O semiperímetro é
p = \frac{a+b+c}{2}.
Para resolver, vamos usar:
– o Teorema da bissetriz (relação entre BP e PC);
– o Teorema de Stewart aplicado ao ceviano AP.

Passo 2

Pela propriedade da bissetriz interna, a razão dos segmentos em que P divide BC é igual à razão dos lados adjacentes:
\frac{BP}{PC} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b}.
Como BP + PC = BC = a, resolvemos
BP = \frac{a\,c}{b+c}, \qquad PC = \frac{a\,b}{b+c}.

Passo 3

O Teorema de Stewart no triângulo ABC com ceviana AP (de comprimento d=AP) dá:
c^2\cdot PC \;+\; b^2\cdot BP \;=\; a\bigl(d^2 + BP\cdot PC\bigr).
Substituímos BP e PC do passo anterior.

Passo 4

Calculemos primeiro o numerador do lado esquerdo:
c^2\cdot PC + b^2\cdot BP = c^2\cdot\frac{a\,b}{b+c} \;+\; b^2\cdot\frac{a\,c}{b+c} = \frac{a b c\,(c+b)}{b+c} = a b c.
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a\,\bigl(AP^2 + BP\cdot PC\bigr) = abc \quad\Longrightarrow\quad AP^2 = bc \;-\; BP\cdot PC.
E
BP\cdot PC = \frac{a\,c}{b+c}\;\frac{a\,b}{b+c} = \frac{a^2 b c}{(b+c)^2}.

Passo 5

Assim
AP^2 = bc \;-\; \frac{a^2 bc}{(b+c)^2} = bc\;\frac{(b+c)^2 - a^2}{(b+c)^2} = bc\;\frac{(b+c - a)(b+c + a)}{(b+c)^2}.
Mas
b+c+a = 2p \quad\text{e}\quad b+c-a = 2(p-a),
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AP^2 = bc\;\frac{2(p-a)\,2p}{(b+c)^2} = \frac{4\,bc\,p\,(p-a)}{(b+c)^2} \quad\Longrightarrow\quad AP = \frac{2}{b+c}\sqrt{bc\,p\,(p-a)}.

Resposta

A P = \frac{2}{b+c}\,\sqrt{b\,c\,p\,(p-a)}.

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