Considere um triângulo cujos lados medem 5 \mathrm{~cm}, 6 \mathrm{~cm} e 9 cm . Qual a área de um quadrado cujo lado é a mediana relativa ao maior lado do triângulo considerado em centímetros quadrados?

Passo 1

O enunciado nos dá um triângulo com lados medindo 5, 6 e 9 centímetros, e pede a área de um quadrado cujo lado é a mediana relativa ao maior lado ( 9 cm). Para isso vamos usar a fórmula da mediana em triângulos, que relaciona a mediana m_a ao lado oposto a e aos outros dois lados b e c:
m_a = \frac{\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}}{2}.

Passo 2

Aplicando a fórmula com a = 9, b = 5 e c = 6, calculamos o termo dentro da raiz:
2b^2 + 2c^2 - a^2 = 2\cdot5^2 + 2\cdot6^2 - 9^2 = 2\cdot25 + 2\cdot36 - 81 = 50 + 72 - 81 = 41.
Logo,
m = m_a = \frac{\sqrt{41}}{2}.

Passo 3

O quadrado tem lado igual a m, portanto sua área A é
A = m^2 = \biggl(\frac{\sqrt{41}}{2}\biggr)^{2} = \frac{41}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{41}{4}

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