Um triângulo é tal que A B=2 \sqrt{3} \mathrm{~cm} e A C=6 \mathrm{~cm}. Calcule a medida do lado B C sabendo que os ângulos internos dos vértices B e C são tais que B=2 C. (Dica: \operatorname{Sen} 2 C=2 \operatorname{sen} C \cos C )

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC com os lados
AB = 2\sqrt{3}\,\text{cm},\quad AC = 6\,\text{cm},
e diz que os ângulos internos satisfazem B = 2C. Queremos achar BC. Para isso, vamos usar a Lei dos Senos e a identidade \sin2C=2\sin C\cos C.

Passo 2

Pela Lei dos Senos, as razões entre lados e senos dos ângulos opostos são iguais, logo
\frac{AB}{\sin C} \;=\;\frac{AC}{\sin B}.
Como B=2C, escrevemos
\frac{2\sqrt{3}}{\sin C} \;=\;\frac{6}{\sin(2C)}.

Passo 3

Substituindo \sin(2C)=2\sin C\cos C, temos
\frac{2\sqrt{3}}{\sin C} \;=\; \frac{6}{2\sin C\cos C} \;=\; \frac{3}{\sin C\cos C}.
Multiplicando ambos os lados por \sin C, obtemos
2\sqrt{3}= \frac{3}{\cos C} \quad\Longrightarrow\quad \cos C = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Da igualdade \cos C=\frac{\sqrt{3}}{2} concluímos que
C = 30^\circ.
Então
B=2C=60^\circ, \quad A=180^\circ-(B+C)=180^\circ-90^\circ=90^\circ.
O triângulo é, portanto, retângulo em A.

Passo 5

Para achar BC, usamos novamente a Lei dos Senos, agora com o ângulo A:
\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} \quad\Longrightarrow\quad BC = \frac{AB\,\sin A}{\sin C}.
Como \sin A=\sin90^\circ=1 e \sin C=\sin30^\circ=\tfrac12, segue
BC = \frac{2\sqrt{3}\times1}{\tfrac12} = 4\sqrt{3}\,\text{cm}.

Resposta

BC = 4\sqrt{3}\,\text{cm}.

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