Considere o triângulo equilátero com a base no eixo x e seja ell o comprimento do seu lado. Usando o Teorema de Pappus, encontre o volume do sólido gerado pela rotação do triângulo em torno da reta y=-ell.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado ao rotacionar um triângulo equilátero de lado ell, com base no eixo x, em torno da reta y=-ell. O método sugerido é o Teorema de Pappus, que diz que
V = l(área da regiãor)timesl(comprimento da trajetória do baricentror) áãó

Passo 2

Colocamos o triângulo de vértices (0,0), (ell,0) e l(tfracell2,hr), onde a altura
h = raiz32,ell
A área do triângulo é
A = basetimesa<ura2 = ellcdot h2 = ellcdotl(raiz32ellr)2 = raiz34,ell^2

Passo 3

O baricentro do triângulo está em
yc = 0+0+h3 = h3 = raiz36,ell
A reta de rotação é y=-ell, então a distância do baricentro a essa reta é
R = yc -(-ell) = raiz36,ell + ell = elll(1 + raiz36r)

Passo 4

O baricentro percorre uma circunferência de raio R, cujo comprimento é
C = 2pi R = 2pi,elll(1 + raiz36r)

Passo 5

Pela fórmula de Pappus,
V = A times C = raiz34,ell^2 ;times; 2pi,elll(1 + raiz36r)
Simplificando:
V = raiz34cdot2picdotl(1 + raiz36r),ell^3 = piraiz32l(6+raiz36r),ell^3 = piraiz3(6+raiz3)12,ell^3 = piell^34,l(2raiz3+1r)

Resposta

V = piell^34,l(2raiz3+1r)

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