Determine se a sequência diverge ou converge, se ela converge encontre o valor do limite.
an=(1+2n)^1n

Passo 1

O enunciado pede analisar a sequência
an=l(1+2nr)^1n
quanto à convergência e, em caso de convergência, determinar limntoinftyan. O conteúdo principal é cálculo de limites de tipo indeterminado 1^0 e uso de logaritmo para facilitar a análise.

Passo 2

Como an>0 para todo n, definimos
bn = ln(an)
e estudamos primeiro limntoinftybn. Notamos que
bn = lnl(1+2nr)^1n = 1n,lnl(1+2nr)

Passo 3

Queremos calcular
limntoinftybn = limntoinftyln!l(1+tfrac2nr)n
Esse quociente é do tipo “ 0/infty”, logo tende a zero se o numerador decresce no máximo como uma constante.

Passo 4

Usando a expansão para xto0, ln(1+x)=x+o(x), temos com x=2/n:
lnl(1+2nr) =2n+ol(1nr)
Logo
bn =1nl(2n+ol(tfrac1nr)r) =2n^2+ol(1n^2r) ;xrightarrow[ntoinfty];0

Passo 5

Como limntoinftybn=0, voltamos à sequência original:
limntoinftyan =limntoinftye^bn =e^0 =1

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyan = 1

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