Considere o triângulo triang<= A B C cujos vértices são A(1,2), B(-2,3) e C(0,5). Represente o triângulo no plano cartesiano e calcule o comprimento da mediana A M, sendo M o ponto médio do lado B C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com vértices nas coordenadas , e . Nosso objetivo aqui é representar esse triângulo no plano cartesiano e calcular o comprimento da mediana , onde é o ponto médio do lado . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como cálculo de pontos médios e distância entre pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto médio M ( xB + xC2, yB + yC2 ) do lado M ( -2 + 02, 3 + 52 ) = M ( -22, 82 ) = M(-1, 4) . Para achar o ponto médio entre dois pontos no plano cartesiano, usamos a fórmula:
Substituindo os valores das coordenadas de e :
Então, as coordenadas de são .

Passo 3

Agora, vamos calcular o comprimento da mediana d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 , ou seja, a distância entre os pontos d = raiz(-1 - 1)^2 + (4 - 2)^2 = raiz(-2)^2 + (2)^2 = raiz4 + 4 = raiz8 e raiz8 = 2raiz2 . Para calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano, usamos a fórmula da distância:
Aplicando as coordenadas de e :
Simplificando a raiz quadrada:

Resposta

O comprimento da mediana é unidades.

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