Verifique se o conjunto W com as operações indicadas é um subespaço vetorial de V :
V=C([a, b] ; R), W=f in C([a, b] ; R) ; integrala^b f(x) d x=0 com as operações usuais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Aqui, é o conjunto de todas as funções contínuas de para , ou seja, . O conjunto é definido como todas as funções em que satisfazem a condição . Para resolver isso, precisamos lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial e verificar cada um deles para .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são os critérios para um subconjunto ser um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço vetorial se:
  1. Contém o vetor zero: O conjunto deve conter o vetor zero de .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar cada um desses pontos para o conjunto .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em integrala^b f(x) , dx = integrala^b 0 , dx = 0 é a função que atribui zero para todo em , ou seja, para todo . Vamos verificar se essa função está em :
Como a integral é igual a zero, a função zero está em . Então, o primeiro critério é satisfeito.

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos considerar duas funções quaisquer integrala^b f(x) , dx = 0 e integrala^b g(x) , dx = 0 e integrala^b (f(x) + g(x)) , dx = integrala^b f(x) , dx + integrala^b g(x) , dx = 0 + 0 = 0 em . Isso significa que:
Queremos mostrar que também está em . Calculamos a integral de :
Portanto, também satisfaz a condição para estar em . Então, é fechado sob adição.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos pegar uma função integrala^b c cdot f(x) , dx = c cdot integrala^b f(x) , dx = c cdot 0 = 0 em e um escalar . Queremos mostrar que também está em . Calculamos a integral de :
Assim, também satisfaz a condição para estar em . Logo, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto satisfaz todos os três critérios (contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar), podemos concluir que é, de fato, um subespaço vetorial de .

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