Verifique quais das seguintes matrizes são diagonalizáveis e, caso seja possível, determine matrizes
(não singular) e
(diagonal) tais que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a matriz
é diagonalizável. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre diagonalização de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz
, que vão nos ajudar a montar as matrizes
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Para isso, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
Aqui,
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Passo 3
Vamos montar a equação característica:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Passo 4
Resolvendo a equação
:
Então, os autovalores são:
Passo 5
Como temos dois autovalores distintos (
e
) para uma matriz
, isso significa que a matriz
é diagonalizável. Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor para montar a matriz
.
Passo 6
Para
:
Resolvemos
:
Isso resulta em:
Podemos escolher
, então o autovetor é:
Para
:
Resolvemos
:
Isso resulta em:
Podemos escolher
, então o autovetor é:
Passo 7
Agora, vamos montar as matrizes
e
:
- Matriz
: Colocamos os autovetores como colunas.
- Matriz
: Colocamos os autovalores na diagonal, na mesma ordem dos autovetores em .
Resposta
A matriz
é diagonalizável. As matrizes
e
são:
Tal que
.