Verifique quais das seguintes matrizes são diagonalizáveis e, caso seja possível, determine matrizes P (não singular) e D (diagonal) tais que A=P D P^-1.
A=[ll1 & 1 1 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a matriz 1 & 1 1 & 1 é diagonalizável. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre diagonalização de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz , que vão nos ajudar a montar as matrizes e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Para isso, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
Aqui, é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Vamos montar a equação característica:
A - lambda I = 1 - lambda & 1 1 & 1 - lambda
Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda) - (1)(1) = (1 - lambda)^2 - 1
Simplificando:
(1 - lambda)^2 - 1 = 1 - 2lambda + lambda^2 - 1 = lambda^2 - 2lambda = 0

Passo 4

Resolvendo a equação lambda(lambda - 2) = 0 :
lambda1 = 0 e lambda2 = 2
Então, os autovalores são:

Passo 5

Como temos dois autovalores distintos ( e ) para uma matriz , isso significa que a matriz é diagonalizável. Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor para montar a matriz .

Passo 6

Para 1 & 1 1 & 1 x1 x2 = 0 0 :
Resolvemos x1 + x2 = 0 Rightarrow x2 = -x1 :
v1 = 1 -1
Isso resulta em:
-1 & 1 1 & -1 x1 x2 = 0 0
Podemos escolher -x1 + x2 = 0 Rightarrow x2 = x1 , então o autovetor é:
v2 = 1 1
Para :
Resolvemos :
Isso resulta em:
Podemos escolher , então o autovetor é:

Passo 7

Agora, vamos montar as matrizes P = 1 & 1 -1 & 1 e D = 0 & 0 0 & 2 :
  • Matriz : Colocamos os autovetores como colunas.
  • Matriz : Colocamos os autovalores na diagonal, na mesma ordem dos autovetores em .

Resposta

A matriz P = 1 & 1 -1 & 1 e D = 0 & 0 0 & 2 é diagonalizável. As matrizes e são:
Tal que .

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