Considere um trocador de calor TC-1.1 de correntes contrárias que apresenta um coeficiente de transferência de calor de 500 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K} e uma área de troca térmica de 10 \mathrm{~m}^{2}. O trocador é utilizado para resfriar 1,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de óleo a 110^{\circ} \mathrm{C} com uma vazão de 0,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de água a 15^{\circ} \mathrm{C}. Os calores específicos a pressão constante do óleo e da água são respectivamente iguais a 2,25 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} e 4,18 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}. Calcule as duas temperaturas de descarga e a taxa total de transferência de calor no trocador de calor pelo método da MLDT.

Passo 1

Resumo do que o enunciado dá e pede (vou listar tudo bem claro para você não se perder):\n
  • Dados do trocador: coeficiente de transferência global U = 500\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{K} e área A = 10\\ \mathrm{m}^{2}.\n
  • Vazões e temperaturas de entrada:\n
    \dot{m}_{\text{o}} = 1,5\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s} (óleo, quente), T_{\text{h,i}} = 110^\circ\mathrm{C}.\n
    \dot{m}_{\text{w}} = 0,5\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s} (água, fria), T_{\text{c,i}} = 15^\circ\mathrm{C}.\n
  • Calores específicos a pressão constante:\n
    c_{p,\text{o}} = 2{,}25\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K} = 2250\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}.\n
    c_{p,\text{w}} = 4{,}18\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K} = 4180\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}.\n
  • O trocador é de correntes contrárias. Pedidos:\n
    Calcular as temperaturas de descarga (saída) do óleo e da água, T_{\text{h,o}} e T_{\text{c,o}}, e a taxa total de transferência de calor Q usando o método da MLDT (LMTD).\n

Passo 2

Definir as quantidades úteis e escrever balanços de energia (essas são as equações básicas que vamos usar).\n
  • Capacidade térmica de cada corrente (produto massa·cp):\n C_{\text{h}} = \dot{m}_{\text{o}}\,c_{p,\text{o}} = 1{,}5\cdot 2250 = 3375\\ \mathrm{W/K},\n C_{\text{c}} = \dot{m}_{\text{w}}\,c_{p,\text{w}} = 0{,}5\cdot 4180 = 2090\\ \mathrm{W/K}.\n
  • Observação importante (útil na prova): a menor destas, C_{\min}, limita a energia máxima que pode ser transferida: \;Q_{\max}=C_{\min}(T_{\text{h,i}}-T_{\text{c,i}}).\n
    Aqui C_{\min}=C_{\text{c}}=2090\\ \mathrm{W/K} e\n Q_{\max}=2090\cdot(110-15)=2090\cdot95=198550\\ \mathrm{W}.\n
  • Balanços de energia (energia perdida pelo óleo = energia ganha pela água = Q):\n Q = C_{\text{h}}(T_{\text{h,i}}-T_{\text{h,o}}),\n Q = C_{\text{c}}(T_{\text{c,o}}-T_{\text{c,i}}).

Passo 3

Expressar T_{\text{h,o}} e T_{\text{c,o}} em função de Q (isso facilita muito usar a MLDT depois):\n
  • Da primeira equação: \;T_{\text{h,o}} = T_{\text{h,i}} - \dfrac{Q}{C_{\text{h}}}.\n
  • Da segunda: \;T_{\text{c,o}} = T_{\text{c,i}} + \dfrac{Q}{C_{\text{c}}}.\n
    Agora escrevemos as diferenças de temperatura nas extremidades do trocador (correntes contrárias):\n
  • Diferença na entrada de uma extremidade (lado quente entra, frio sai): \Delta T_1 = T_{\text{h,i}} - T_{\text{c,o}}.\n
  • Diferença na outra extremidade (lado quente sai, frio entra): \Delta T_2 = T_{\text{h,o}} - T_{\text{c,i}}.\n
    Substituindo as expressões de T_{\text{h,o}} e T_{\text{c,o}} em função de Q:\n
\Delta T_1 = T_{\text{h,i}} - \left(T_{\text{c,i}} + \frac{Q}{C_{\text{c}}}\right) = (T_{\text{h,i}}-T_{\text{c,i}}) - \frac{Q}{C_{\text{c}}},\n
\Delta T_2 = \left(T_{\text{h,i}} - \frac{Q}{C_{\text{h}}}\right) - T_{\text{c,i}} = (T_{\text{h,i}}-T_{\text{c,i}}) - \frac{Q}{C_{\text{h}}}.\n
Note que T_{\text{h,i}}-T_{\text{c,i}} = 110-15 = 95^\circ\mathrm{C}, então explicitamente:\n
\Delta T_1 = 95 - \frac{Q}{C_{\text{c}}}, \qquad \Delta T_2 = 95 - \frac{Q}{C_{\text{h}}}.

Passo 4

Explicar e escrever a fórmula da MLDT (LMTD) para correntes contrárias e relacioná-la com Q.\n
  • A diferença de temperatura logarítmica média (MLDT ou LMTD) é definida por\n
\Delta T_{\text{lm}} = \frac{\Delta T_2 - \Delta T_1}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_2}{\Delta T_1}\right)}.\n
  • A relação fundamental entre Q, U, A e \Delta T_{\text{lm}} é\n
Q = U A\,\Delta T_{\text{lm}}.\n
Então juntando com as expressões de \Delta T_1 e \Delta T_2 em função de Q obtemos uma equação não linear em Q que vamos resolver.

Passo 5

Montar a equação em Q e simplificar (veja que dá para manipular de forma elegante):\n
Substituindo \Delta T_1 e \Delta T_2 em \Delta T_{\text{lm}} e em Q = UA\Delta T_{\text{lm}} obtemos\n
Q = UA\cdot\frac{\left(95-\dfrac{Q}{C_{\text{h}}}\right)-\left(95-\dfrac{Q}{C_{\text{c}}}\right)} {\ln\!\left(\dfrac{95-\dfrac{Q}{C_{\text{h}}}}{95-\dfrac{Q}{C_{\text{c}}}}\right)}.\n
No numerador aparece\n
\left(95-\frac{Q}{C_{\text{h}}}\right)-\left(95-\frac{Q}{C_{\text{c}}}\right) = Q\!\left(\frac{1}{C_{\text{c}}}-\frac{1}{C_{\text{h}}}\right).\n
Logo a equação fica (dividindo ambos os lados por Q, supondo Q\neq0)\n
1 = UA\cdot\frac{\left(\dfrac{1}{C_{\text{c}}}-\dfrac{1}{C_{\text{h}}}\right)} {\ln\!\left(\dfrac{95-\dfrac{Q}{C_{\text{h}}}}{95-\dfrac{Q}{C_{\text{c}}}}\right)}.\n
Isolando o logaritmo:\n
\ln\!\left(\dfrac{95-\dfrac{Q}{C_{\text{h}}}}{95-\dfrac{Q}{C_{\text{c}}}}\right) = UA\left(\dfrac{1}{C_{\text{c}}}-\dfrac{1}{C_{\text{h}}}\right).\n
Note um ponto prático: o lado direito é numérico conhecido, então a equação pode ser rearranjada para resolver explicitamente Q de forma algébrica simples.

Passo 6

Calcular numericamente as constantes e resolver a equação para Q.\n
  • Primeiro UA = U\cdot A = 500\cdot 10 = 5000\\ \mathrm{W/K}.\n
  • Calcular 1/C_{\text{c}} e 1/C_{\text{h}}:\n \frac{1}{C_{\text{c}}}=\frac{1}{2090}=0{,}0004784689\\ \mathrm{K/W},\n \frac{1}{C_{\text{h}}}=\frac{1}{3375}=0{,}0002962963\\ \mathrm{K/W}.\n
  • Portanto o lado direito:\n UA\left(\frac{1}{C_{\text{c}}}-\frac{1}{C_{\text{h}}}\right) = 5000\cdot(0{,}0004784689-0{,}0002962963) = 0{,}910863\\ (\text{adimensional}).\n
  • Defina r=\exp(0{,}910863)=2{,}48685 (aprox.). A equação exponenciada fica\n \frac{95-\dfrac{Q}{C_{\text{h}}}}{95-\dfrac{Q}{C_{\text{c}}}} = r.\n
  • Resolver para Q:\n 95-\frac{Q}{C_{\text{h}}} = r\left(95-\frac{Q}{C_{\text{c}}}\right)
95(1-r) = Q\left(\frac{1}{C_{\text{h}}}-\frac{r}{C_{\text{c}}}\right).
Q = \frac{95(1-r)}{\dfrac{1}{C_{\text{h}}}-\dfrac{r}{C_{\text{c}}}}.\n
  • Substituindo valores numéricos obtém-se (fazendo as contas com cuidado):\n Q \approx 158056\\ \mathrm{W}\\ (\text{aprox. }158{,}06\\ \mathrm{kW}).

Passo 7

Calcular as temperaturas de descarga usando Q.\n
  • Temperatura de saída do óleo (quente):\n T_{\text{h,o}} = T_{\text{h,i}} - \frac{Q}{C_{\text{h}}} = 110 - \frac{158056}{3375} \approx 63{,}16^\circ\mathrm{C}.\n
  • Temperatura de saída da água (fria):\n T_{\text{c,o}} = T_{\text{c,i}} + \frac{Q}{C_{\text{c}}} = 15 + \frac{158056}{2090} \approx 90{,}63^\circ\mathrm{C}.\n
  • Verificação rápida (importante na prova): a energia coincide (diferenças numéricas por arredondamento mínimo) e Q< Q_{\max} (temos 158{,}06\\ \mathrm{kW} < 198{,}55\\ \mathrm{kW}), então a solução é fisicamente consistente.

Passo 8

Calcular a MLDT e checar Q = UA\Delta T_{\text{lm}} como validação final.\n
  • Diferenças nas extremidades:\n \Delta T_1 = T_{\text{h,i}} - T_{\text{c,o}} = 110 - 90{,}63 = 19{,}37^\circ\mathrm{C},\n \Delta T_2 = T_{\text{h,o}} - T_{\text{c,i}} = 63{,}16 - 15 = 48{,}16^\circ\mathrm{C}.\n
  • MLDT:\n \Delta T_{\text{lm}} = \frac{48{,}16-19{,}37}{\ln\!\left(\dfrac{48{,}16}{19{,}37}\right)} \approx 31{,}60^\circ\mathrm{C}.\n
  • Então UA\Delta T_{\text{lm}} = 5000\cdot31{,}60 \approx 158000\\ \mathrm{W}, consistente com Q anteriormente encontrado (diferença pequena por arredondamento).

Resposta

T_{\text{h,o}} \approx 63{,}16^\circ\mathrm{C}\n
T_{\text{c,o}} \approx 90{,}63^\circ\mathrm{C}\n
Q \approx 158{,}06\\ \mathrm{kW}

Exercícios relacionados