Considere um trocador de calor TC-1.1 de correntes contrárias que apresenta um coeficiente de transferência de calor de 500 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K} e uma área de troca térmica de 10 \mathrm{~m}^{2}. O trocador é utilizado para resfriar 1,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de óleo a 110^{\circ} \mathrm{C} com uma vazão de 0,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de água a 15^{\circ} \mathrm{C}. Os calores específicos a pressão constante do óleo e da água são respectivamente iguais a 2,25 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} e 4,18 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}. Calcule as duas temperaturas de descarga e a taxa total de transferência de calor no trocador de calor pelo método da MLDT.
Passo 1
Resumo do que o enunciado dá e pede (vou listar tudo bem claro para você não se perder):\n
Dados do trocador: coeficiente de transferência global U = 500\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{K} e área A = 10\\ \mathrm{m}^{2}.\n
O trocador é de correntes contrárias. Pedidos:\n
Calcular as temperaturas de descarga (saída) do óleo e da água, T_{\text{h,o}} e T_{\text{c,o}}, e a taxa total de transferência de calor Q usando o método da MLDT (LMTD).\n
Passo 2
Definir as quantidades úteis e escrever balanços de energia (essas são as equações básicas que vamos usar).\n
Observação importante (útil na prova): a menor destas, C_{\min}, limita a energia máxima que pode ser transferida: \;Q_{\max}=C_{\min}(T_{\text{h,i}}-T_{\text{c,i}}).\n
Aqui C_{\min}=C_{\text{c}}=2090\\ \mathrm{W/K} e\nQ_{\max}=2090\cdot(110-15)=2090\cdot95=198550\\ \mathrm{W}.\n
Balanços de energia (energia perdida pelo óleo = energia ganha pela água = Q):\nQ = C_{\text{h}}(T_{\text{h,i}}-T_{\text{h,o}}),\nQ = C_{\text{c}}(T_{\text{c,o}}-T_{\text{c,i}}).
Passo 3
Expressar T_{\text{h,o}} e T_{\text{c,o}} em função de Q (isso facilita muito usar a MLDT depois):\n
Da primeira equação: \;T_{\text{h,o}} = T_{\text{h,i}} - \dfrac{Q}{C_{\text{h}}}.\n
Da segunda: \;T_{\text{c,o}} = T_{\text{c,i}} + \dfrac{Q}{C_{\text{c}}}.\n
Agora escrevemos as diferenças de temperatura nas extremidades do trocador (correntes contrárias):\n
Diferença na entrada de uma extremidade (lado quente entra, frio sai): \Delta T_1 = T_{\text{h,i}} - T_{\text{c,o}}.\n
Diferença na outra extremidade (lado quente sai, frio entra): \Delta T_2 = T_{\text{h,o}} - T_{\text{c,i}}.\n
Substituindo as expressões de T_{\text{h,o}} e T_{\text{c,o}} em função de Q:\n
A relação fundamental entre Q, U, A e \Delta T_{\text{lm}} é\n
Q = U A\,\Delta T_{\text{lm}}.\n
Então juntando com as expressões de \Delta T_1 e \Delta T_2 em função de Q obtemos uma equação não linear em Q que vamos resolver.
Passo 5
Montar a equação em Q e simplificar (veja que dá para manipular de forma elegante):\n
Substituindo \Delta T_1 e \Delta T_2 em \Delta T_{\text{lm}} e em Q = UA\Delta T_{\text{lm}} obtemos\n
Note um ponto prático: o lado direito é numérico conhecido, então a equação pode ser rearranjada para resolver explicitamente Q de forma algébrica simples.
Passo 6
Calcular numericamente as constantes e resolver a equação para Q.\n
Primeiro UA = U\cdot A = 500\cdot 10 = 5000\\ \mathrm{W/K}.\n
Calcular 1/C_{\text{c}} e 1/C_{\text{h}}:\n\frac{1}{C_{\text{c}}}=\frac{1}{2090}=0{,}0004784689\\ \mathrm{K/W},\n\frac{1}{C_{\text{h}}}=\frac{1}{3375}=0{,}0002962963\\ \mathrm{K/W}.\n
Portanto o lado direito:\nUA\left(\frac{1}{C_{\text{c}}}-\frac{1}{C_{\text{h}}}\right) = 5000\cdot(0{,}0004784689-0{,}0002962963) = 0{,}910863\\ (\text{adimensional}).\n
Defina r=\exp(0{,}910863)=2{,}48685 (aprox.). A equação exponenciada fica\n\frac{95-\dfrac{Q}{C_{\text{h}}}}{95-\dfrac{Q}{C_{\text{c}}}} = r.\n
Resolver para Q:\n95-\frac{Q}{C_{\text{h}}} = r\left(95-\frac{Q}{C_{\text{c}}}\right)
Substituindo valores numéricos obtém-se (fazendo as contas com cuidado):\nQ \approx 158056\\ \mathrm{W}\\ (\text{aprox. }158{,}06\\ \mathrm{kW}).
Passo 7
Calcular as temperaturas de descarga usando Q.\n
Temperatura de saída do óleo (quente):\nT_{\text{h,o}} = T_{\text{h,i}} - \frac{Q}{C_{\text{h}}} = 110 - \frac{158056}{3375} \approx 63{,}16^\circ\mathrm{C}.\n
Temperatura de saída da água (fria):\nT_{\text{c,o}} = T_{\text{c,i}} + \frac{Q}{C_{\text{c}}} = 15 + \frac{158056}{2090} \approx 90{,}63^\circ\mathrm{C}.\n
Verificação rápida (importante na prova): a energia coincide (diferenças numéricas por arredondamento mínimo) e Q< Q_{\max} (temos 158{,}06\\ \mathrm{kW} < 198{,}55\\ \mathrm{kW}), então a solução é fisicamente consistente.
Passo 8
Calcular a MLDT e checar Q = UA\Delta T_{\text{lm}} como validação final.\n