Considere um trocador de calor TC-1.1 de correntes contrárias que apresenta um coeficiente de transferência de calor de 500 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K} e uma área de troca térmica de 10 \mathrm{~m}^{2}. O trocador é utilizado para resfriar 1,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de óleo a 110^{\circ} \mathrm{C} com uma vazão de 0,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de água a 15^{\circ} \mathrm{C}. Os calores específicos a pressão constante do óleo e da água são respectivamente iguais a 2,25 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} e 4,18 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}. Calcule as duas temperaturas de descarga e a taxa total de transferência de calor no trocador de calor pelo método da efetividade (NUT).

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.\n
  • Pedido: Calcular as duas temperaturas de descarga (saídas) e a taxa total de transferência de calor no trocador, usando o método da efetividade (NUT). \n
  • Dados fornecidos: U = 500\\ \mathrm{W/m^{2}\!K}
A = 10\\ \mathrm{m^{2}}
\dot{m}_{\text{oil}} = 1,5\\ \mathrm{kg/s},\quad T_{\text{oil,in}} = 110^\circ\mathrm{C}
\dot{m}_{\text{water}} = 0,5\\ \mathrm{kg/s},\quad T_{\text{water,in}} = 15^\circ\mathrm{C}
c_{p,\text{oil}} = 2,25\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = 2250\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}
c_{p,\text{water}} = 4,18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = 4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}
  • Observação importante: o trocador é de correntes contrárias (counterflow). Isso determina a fórmula de efetividade que vamos usar.

Passo 2

Conceitos fundamentais do método efetividade-NTU (explicação didática curta e concreta).\n
  • Definição de taxa de capacidade térmica (heat-capacity rate) de uma corrente: C = \dot{m}\,c_{p},onde C tem unidades \mathrm{W/K} (ou \mathrm{J/s\cdot K}). Interpretação: C diz quanto de potência térmica é necessária para variar a temperatura da corrente em 1\\ \mathrm{K}.\n
  • Identificamos C_{\min} e C_{\max}: C_{\min} = \min(C_{\text{hot}},C_{\text{cold}}),\qquad C_{r} = \frac{C_{\min}}{C_{\max}}.
  • Definição de NTU: \mathrm{NTU} = \frac{UA}{C_{\min}},que mede a “capacidade” do trocador em comparação com a capacidade térmica da menor corrente.\n
  • Efetividade \varepsilon (para counterflow, caso C_{r}\neq1): \varepsilon = \frac{1-\exp\!\big(-\mathrm{NTU}(1-C_{r})\big)}{1-C_{r}\,\exp\!\big(-\mathrm{NTU}(1-C_{r})\big)}.Interpretação: \varepsilon é a fracção do máximo calor possível (se a corrente de menor capacidade trocasse toda a diferença de temperatura) que é realmente transferida.\n
  • Potência térmica trocada: \dot{Q} = \varepsilon\,C_{\min}\,(T_{\text{hot,in}}-T_{\text{cold,in}}).
  • Temperaturas de saída (balanço de energia em cada corrente): T_{\text{hot,out}} = T_{\text{hot,in}} - \frac{\dot{Q}}{C_{\text{hot}}},\qquad T_{\text{cold,out}} = T_{\text{cold,in}} + \frac{\dot{Q}}{C_{\text{cold}}}.

Passo 3

Calcular as taxas de capacidade térmica C para óleo (hot) e água (cold).\n
  • Para o óleo (corrente quente): C_{\text{hot}} = \dot{m}_{\text{oil}}\,c_{p,\text{oil}} = 1,5\times 2250 = 3375\\ \mathrm{W/K}.
  • Para a água (corrente fria): C_{\text{cold}} = \dot{m}_{\text{water}}\,c_{p,\text{water}} = 0,5\times 4180 = 2090\\ \mathrm{W/K}.
  • Identificação de C_{\min} e C_{\max}: C_{\min} = 2090\\ \mathrm{W/K},\qquad C_{\max} = 3375\\ \mathrm{W/K}.
  • Razão de capacidades: C_{r} = \frac{C_{\min}}{C_{\max}} = \frac{2090}{3375}\approx 0,619.

Passo 4

Calcular \mathrm{NTU}.\n
  • Primeiro calcule UA: UA = U\cdot A = 500\\ \mathrm{W/m^{2}\!K}\times 10\\ \mathrm{m^{2}} = 5000\\ \mathrm{W/K}.
  • Agora \mathrm{NTU} = \frac{UA}{C_{\min}} = \frac{5000}{2090}\approx 2,392.

Passo 5

Calcular a efetividade \varepsilon para correntes contrárias usando a fórmula apropriada e explicar cada termo.\n
  • A fórmula (repetindo): \varepsilon = \frac{1-\exp\!\big(-\mathrm{NTU}(1-C_{r})\big)}{1-C_{r}\,\exp\!\big(-\mathrm{NTU}(1-C_{r})\big)}.
  • Calcular o expoente: -\mathrm{NTU}(1-C_{r}) \approx -2,392\times(1-0,619) = -2,392\times 0,381 \approx -0,910.
\exp(-\mathrm{NTU}(1-C_{r})) \approx e^{-0,910}\approx 0,403.
  • Numerador e denominador: \text{num} = 1-0,403 = 0,597,\qquad \text{den} = 1-0,619\times 0,403 \approx 1-0,249=0,751.
  • Assim \varepsilon \approx \frac{0,597}{0,751}\approx 0,796.Comentário: isso significa que o trocador consegue transferir cerca de 79,6\% do calor máximo teoricamente possível para a corrente de menor capacidade.

Passo 6

Calcular a taxa de transferência de calor \dot{Q}.\n
  • Diferença de temperatura de entrada: \Delta T_{\text{in}} = T_{\text{hot,in}}-T_{\text{cold,in}} = 110-15 = 95\\ \mathrm{K}.
  • Aplicando \dot{Q} = \varepsilon\,C_{\min}\,\Delta T_{\text{in}} \approx 0,796\times 2090\times 95.
  • Primeiro 2090\times 95 = 198550\\ \mathrm{W}. Então \dot{Q} \approx 0,796\times 198550 \approx 158019\\ \mathrm{W}\approx 158{,}0\\ \mathrm{kW}.

Passo 7

Calcular as temperaturas de descarga usando balanço de energia em cada corrente e explicar a lógica.\n
  • Lógica: a energia que sai de uma corrente entra na outra (ignorando perdas). Assim: T_{\text{hot,out}} = T_{\text{hot,in}} - \frac{\dot{Q}}{C_{\text{hot}}},\qquad T_{\text{cold,out}} = T_{\text{cold,in}} + \frac{\dot{Q}}{C_{\text{cold}}}.
  • Cálculo para o óleo (quente): \frac{\dot{Q}}{C_{\text{hot}}} = \frac{158019}{3375}\approx 46{,}8\\ \mathrm{K},
T_{\text{oil,out}} \approx 110 - 46{,}8 = 63{,}2^\circ\mathrm{C}.
  • Cálculo para a água (fria): \frac{\dot{Q}}{C_{\text{cold}}} = \frac{158019}{2090}\approx 75{,}6\\ \mathrm{K},
T_{\text{water,out}} \approx 15 + 75{,}6 = 90{,}6^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Verificação rápida de coerência física (o que a gente costuma fazer na prova).\n
  • A temperatura de saída da água 90{,}6^\circ\mathrm{C} é menor que a entrada do óleo 110^\circ\mathrm{C}, o que é consistente (a água não supera a fonte quente). \n
  • A energia removida do óleo C_{\text{hot}}(T_{\text{hot,in}}-T_{\text{hot,out}}) e a energia recebida pela água C_{\text{cold}}(T_{\text{water,out}}-T_{\text{water,in}}) ambos dão aproximadamente \dot{Q}, confirmando conservação de energia.

Resposta

T_{\text{oil,out}} \approx 63{,}2^\circ\mathrm{C}\n
T_{\text{water,out}} \approx 90{,}6^\circ\mathrm{C}\n
\dot{Q} \approx 158{,}0\\ \mathrm{kW}

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