Um escoamento de água de 2 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} deve ser resfriado de 80 a 50^{\circ} \mathrm{C} com uma corrente de 3 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de água a 20^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que o coeficiente global de troca térmica é de 1200 \mathrm{W} /\left(\mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) e que o escoamento é de correntes paralelas, calcule a área de troca necessária pelo método da efetividade.

Passo 1

O enunciado pede a área de troca térmica necessária para resfriar uma corrente de água quente usando outra corrente fria em um trocador de calor de correntes paralelas, usando o método da efetividade. Dados fornecidos:
\text{Vazão mássica do fluido quente: } \dot{m}_h = 2\\ \mathrm{kg/s}ãá
\text{Temperatura de entrada do quente: } T_{h,in} = 80^\circ\mathrm{C}
\text{Temperatura de saída do quente: } T_{h,out} = 50^\circ\mathrm{C}í
\text{Vazão mássica do fluido frio: } \dot{m}_c = 3\\ \mathrm{kg/s}ãá
\text{Temperatura de entrada do frio: } T_{c,in} = 20^\circ\mathrm{C}
\text{Coeficiente global de transferência de calor: } U = 1200\\ \mathrm{W/(m^2\cdot^\circ C)}ê
O que é pedido: área A necessária do trocador para que o resfriamento ocorra nas condições descritas, considerando correntes paralelas e usando o método da efetividade.

Passo 2

Entender e definir capacidades térmicas (taxa de capacidade térmica): para cada corrente define-se C=\dot{m}\,c_p, onde c_p é o calor específico do fluido (quantidade de energia necessária para aumentar 1 kg do fluido em 1^\circ\mathrm{C}). Para água usamos o valor usual:
c_p = 4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)}.
Explicando: \dot{m} tem unidade \mathrm{kg/s}, c_p tem \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)}, então C tem unidade \mathrm{W/^\circ C} (pois 1\\ \mathrm{J/s}=1\\ \mathrm{W}). Isso representa quanta potência térmica o fluido pode absorver/ceder por grau de diferença de temperatura.
Calculemos as capacidades:
C_h = \dot{m}_h\,c_p = 2\cdot 4180 = 8360\\ \mathrm{W/^\circ C}
C_c = \dot{m}_c\,c_p = 3\cdot 4180 = 12540\\ \mathrm{W/^\circ C}

Passo 3

Definir C_{\min} e C_{\max} e a razão de capacidades C_r:
C_{\min} = \min(C_h,C_c)=8360\\ \mathrm{W/^\circ C}
C_{\max} = \max(C_h,C_c)=12540\\ \mathrm{W/^\circ C}
C_r = \frac{C_{\min}}{C_{\max}} = \frac{8360}{12540} \approx 0,6666667
Também calculamos a carga térmica realmente transferida Q usando o fluido quente (mais simples porque sabemos entrada e saída do quente):
Q = C_h\,(T_{h,in}-T_{h,out}) = 8360\cdot(80-50)=8360\cdot 30 = 250800\\ \mathrm{W}.
Explicando: Q é a potência térmica removida do fluido quente.
A transferência máxima possível Q_{\max} (se o fluido de menor capacidade térmica pudesse aquecer até a temperatura de entrada do quente) é:
Q_{\max} = C_{\min}\,(T_{h,in}-T_{c,in}) = 8360\cdot(80-20)=8360\cdot 60 = 501600\\ \mathrm{W}.
A efetividade \varepsilon é definida como a razão entre Q real e Q_{\max}:
\varepsilon = \frac{Q}{Q_{\max}} = \frac{250800}{501600} = 0,5.
Comentário: \varepsilon varia entre 0 e 1; aqui \varepsilon=0,5 significa que o trocador realiza 50% da troca máxima teoricamente possível.

Passo 4

Apresentar a relação NTU–efetividade para correntes paralelas (co-corrente). Para trocador de correntes paralelas a efetividade é dada por:
\varepsilon = \frac{1-\exp[-\mathrm{NTU}\,(1+C_r)]}{1+C_r}
onde \mathrm{NTU} = \dfrac{U\,A}{C_{\min}}. Explicando:
  • \mathrm{NTU} (Number of Transfer Units) mede a “capacidade” do trocador em relação à capacidade térmica do fluido de menor capacidade; maior NTU normalmente significa mais área e maior efetividade.
  • U é o coeficiente global de transferência de calor.
  • A é a área que queremos encontrar.
  • C_r é a razão de capacidades já calculada.

Passo 5

Isolar \mathrm{NTU} da fórmula da efetividade. Partindo de
\varepsilon = \frac{1-e^{-\mathrm{NTU}(1+C_r)}}{1+C_r}
multiplicamos ambos os lados por (1+C_r):
\varepsilon(1+C_r) = 1 - e^{-\mathrm{NTU}(1+C_r)}
rearranjando:
e^{-\mathrm{NTU}(1+C_r)} = 1 - \varepsilon(1+C_r)
tomando logaritmo natural:
-\mathrm{NTU}(1+C_r) = \ln\big(1 - \varepsilon(1+C_r)\big)
portanto
\mathrm{NTU} = -\frac{\ln\big(1 - \varepsilon(1+C_r)\big)}{1+C_r}.

Passo 6

Calcular numericamente \mathrm{NTU} usando \varepsilon=0,5 e C_r\approx 0,6666667. Primeiro calcule 1+C_r:
1+C_r = 1 + 0,6666667 = 1,6666667.
Calcule 1-\varepsilon(1+C_r):
1-\varepsilon(1+C_r) = 1 - 0,5\cdot 1,6666667 = 1 - 0,83333335 = 0,16666665 \approx \tfrac{1}{6}.
Tomando o logaritmo natural:
\ln(0,16666665) \approx -1,791759469.
Logo
\mathrm{NTU} = -\frac{-1,791759469}{1,6666667} \approx 1,0750557.

Passo 7

Agora usar a definição \mathrm{NTU} = \dfrac{U\,A}{C_{\min}} para achar A:
A = \frac{\mathrm{NTU}\,C_{\min}}{U}.
Substituindo valores:
A = \frac{1,0750557\cdot 8360}{1200}.
Calcule:
1,0750557\cdot 8360 \approx 8987,47\\ \mathrm{W/^\circ C}
portanto
A \approx \frac{8987,47}{1200} \approx 7,48956\\ \mathrm{m}^2.

Passo 8

Interpretação final e verificação rápida de unidades: C_{\min} em \mathrm{W/^\circ C}, \mathrm{NTU} adimensional, U em \mathrm{W/(m^2\cdot^\circ C)} A em \mathrm{m^2}. Resultado faz sentido numericamente. Pequenas diferenças podem surgir se fosse usado outro valor de c_p (aqui usamos 4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)}, valor comum para água à temperatura ambiente).

Resposta

A \approx 7,49\\ \mathrm{m}^2

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