Considere uma tubulação de cobre de 20 metros de comprimento, diâmetro interno de 30 cm e parede com espessura de 2 cm . A parede interna do tubo está à
e a temperatura ambiente é de
. Calcule:
a) a taxa de calor perdida para o meio ambiente;
b) a espessura que deve ter o isolante para que a taxa de calor seja reduzida à metade;
c) o custo do isolante para que o item II seja atendido.
Dados:
Condutividade Térmica do Cobre:
Condutividade Térmica do Isolante:
Coeficiente Convectivo Externo:
Preço do Isolante: R$10,00 /m³
a) a taxa de calor perdida para o meio ambiente;
b) a espessura que deve ter o isolante para que a taxa de calor seja reduzida à metade;
c) o custo do isolante para que o item II seja atendido.
Condutividade Térmica do Cobre:
Condutividade Térmica do Isolante:
Coeficiente Convectivo Externo:
Preço do Isolante: R$10,00 /m³
Passo 1
O que o problema dá e o que pede (lista clara):
-
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- Comprimento do tubo:
. - Diâmetro interno:
. Logo raio interno: . - Espessura da parede de cobre:
. Logo raio externo do cobre: . - Temperatura da parede interna do tubo (superfície interna):
. - Temperatura ambiente:
. - Condutividade térmica do cobre:
. - Condutividade térmica do isolante:
. - Coeficiente convectivo externo:
. - Preço do isolante:
.
- Comprimento do tubo:
-
O que o enunciado pede:
(a) Calcular a taxa de calor perdida para o meio ambiente quando há apenas a parede de cobre e convecção externa.
(b) Determinar a espessura do isolante que deve ser adicionada sobre o cobre para reduzir a taxa de calor à metade.
(c) Calcular o custo do isolante necessário no item (b).
Observação sobre o modelo que vamos usar (a partir daqui começamos a resolver): o fluxo de calor é radial em um cilindro longo, regime estacionário, com resistência por condução na parede (cilindro oco) e, quando houver isolante, condução pelo isolante em casca cilíndrica, e por fim convecção na superfície externa. A temperatura dada
é a superfície interna e a convecção é com o ambiente
. A equação de resistência térmica em série para cilindros será usada.
Passo 2
Formulação das resistências térmicas (aulas rápidas das fórmulas que vou usar).
- Resistência por condução através de uma casca cilíndrica (entre raios
e , comprimento , condutividade ):
Explicação: essa fórmula vem de integrar a lei de Fourier em coordenadas cilíndricas para fluxo radial estacionário;
aparece porque a área que atravessa o calor varia com o raio.
- Resistência por convecção numa superfície cilíndrica de raio
e comprimento :
Explicação: a resistência convectiva é
, onde
é a área externa do cilindro
.
- Taxa de calor em regime estacionário (diferença de temperatura dividida pela resistência térmica total):
Explicação: é a analogia elétrica térmica:
~ tensão, resistência térmica somada em série.
Passo 3
Cálculo detalhado do item (a): taxa de calor sem isolante (apenas cobre + convecção externa).
Passo-a-passo:
- Raios usados (peguei dos dados):
(superfície interna), (superfície externa do cobre). - Resistência por condução no cobre:
Substituindo:
Calculemos o denominador:
(aprox.). Assim
Comentário: muito pequeno — cobre é excelente condutor.
- Resistência convectiva externa (na superfície do cobre, raio
):
Calcule o denominador:
. Então
- Resistência total:
(A resistência do cobre é desprezível frente à convecção.)
- Taxa de calor:
Interpretação curta: o gargalo é a convecção externa (h muito pequeno), por isso o cobre fino não impede muito calor. Resultado final do item (a) anotado para referência posterior:
Passo 4
Preparando o problema do item (b): reduzir a taxa de calor à metade adicionando isolante.
- Meta:
- Com isolante de raio externo
(onde é a espessura do isolante que queremos), a resistência total passa a ser:
com
- Queremos
. Então definimos
e resolvemos para
a equação
Vou reorganizar multiplicando por
(para simplificar os números no cálculo numérico):
Passo 5
Cálculo numérico do raio externo
(resolução da equação por iteração) — explicando o método usado.
- Primeiro calculemos
:
- Constante
. - Lado direito da equação (chame de
):
- Definimos a função em
:
Queremos
.
Método de solução: usei tentativa/erro (iteração simples) porque a equação é transcendental; faço algumas avaliações para localizar a raiz e depois interpolo linearmente para refinar — isso é simples e seguro para prova de cálculo numérico manual.
Avaliações (mostrando contas):
-
Para
: Somamenor que → precisamos de maior. -
Para
: Soma, ainda um pouco menor que . -
Para
: Somamaior que .
Logo a raiz está entre
e
. Agora faço interpolação linear (método simples) entre esses pontos para refinar:
- Em
a soma é . - Em
a soma é .
Queremos.
Interpolando:
Calcule o numerador:
. Denominador:
. Fração
. Então
Refinando um pouco mais com uma avaliação em
obtém-se praticamente igualdade. Portanto:
- Espessura do isolante:
Comentário físico: espessura grande porque o coeficiente convectivo externo
é muito baixo (ar quieto), então para reduzir o fluxo pela metade é necessário muito material isolante — é um resultado que assusta, mas é real fisicamente.
Passo 6
Cálculo do item (c): volume e custo do isolante.
- Volume do isolante (casca cilíndrica entre raios
e , comprimento ):
Substituindo
e
:
- Custo do isolante (preço
):
Passo 7
Resumo numérico dos resultados com arredondamento adequado (para a prova, fornecer valores com 3 algarismos significativos ou conforme solicitado):
- (a) Taxa de calor perdida sem isolante:
- (b) Espessura do isolante necessária para reduzir a taxa de calor à metade:
- (c) Custo do isolante para atender o item (b):
Resposta
(a)
(b)
(c)