Considere uma tubulação de cobre de 20 metros de comprimento, diâmetro interno de 30 cm e parede com espessura de 2 cm . A parede interna do tubo está à 50^{\circ} \mathrm{C} e a temperatura ambiente é de 20^{\circ} \mathrm{C}. Calcule:
a) a taxa de calor perdida para o meio ambiente;
b) a espessura que deve ter o isolante para que a taxa de calor seja reduzida à metade;
c) o custo do isolante para que o item II seja atendido.
Dados:
Condutividade Térmica do Cobre: 450 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}\right)
Condutividade Térmica do Isolante: 0,085 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}\right)
Coeficiente Convectivo Externo: 0,5 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2 \circ} \mathrm{C}\right)
Preço do Isolante: R$10,00 /m³

Passo 1

O que o problema dá e o que pede (lista clara):
  • Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
    • Comprimento do tubo: L=20\\ \mathrm{m}.
    • Diâmetro interno: D_i=30\\ \mathrm{cm} = 0,30\\ \mathrm{m}. Logo raio interno: r_i=\dfrac{D_i}{2}=0,15\\ \mathrm{m}.
    • Espessura da parede de cobre: e_{\text{cu}}=2\\ \mathrm{cm}=0,02\\ \mathrm{m}. Logo raio externo do cobre: r_2=r_i+e_{\text{cu}}=0,15+0,02=0,17\\ \mathrm{m}.
    • Temperatura da parede interna do tubo (superfície interna): T_i=50^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura ambiente: T_\infty=20^\circ\mathrm{C}.
    • Condutividade térmica do cobre: k_{\text{cu}}=450\\ \mathrm{W/(m\,^\circ C)}.
    • Condutividade térmica do isolante: k_{\text{ins}}=0,085\\ \mathrm{W/(m\,^\circ C)}.
    • Coeficiente convectivo externo: h=0,5\\ \mathrm{W/(m^2\,^\circ C)}.
    • Preço do isolante: 10{,}00\\ \mathrm{R\$ / m^3}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) Calcular a taxa de calor perdida para o meio ambiente quando há apenas a parede de cobre e convecção externa.
    (b) Determinar a espessura do isolante que deve ser adicionada sobre o cobre para reduzir a taxa de calor à metade.
    (c) Calcular o custo do isolante necessário no item (b).
Observação sobre o modelo que vamos usar (a partir daqui começamos a resolver): o fluxo de calor é radial em um cilindro longo, regime estacionário, com resistência por condução na parede (cilindro oco) e, quando houver isolante, condução pelo isolante em casca cilíndrica, e por fim convecção na superfície externa. A temperatura dada T_i é a superfície interna e a convecção é com o ambiente T_\infty. A equação de resistência térmica em série para cilindros será usada.

Passo 2

Formulação das resistências térmicas (aulas rápidas das fórmulas que vou usar).
  • Resistência por condução através de uma casca cilíndrica (entre raios r_a e r_b, comprimento L, condutividade k):
R_{\text{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_b}{r_a}\right)}{2\pi L k}.
Explicação: essa fórmula vem de integrar a lei de Fourier em coordenadas cilíndricas para fluxo radial estacionário; \ln(r_b/r_a) aparece porque a área que atravessa o calor varia com o raio.
  • Resistência por convecção numa superfície cilíndrica de raio r e comprimento L:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h\,(2\pi r L)}.
Explicação: a resistência convectiva é \dfrac{1}{hA}, onde A é a área externa do cilindro A=2\pi r L.
  • Taxa de calor em regime estacionário (diferença de temperatura dividida pela resistência térmica total):
\dot{Q}=\frac{T_i-T_\infty}{R_{\text{total}}}.
Explicação: é a analogia elétrica térmica: \Delta T ~ tensão, resistência térmica somada em série.

Passo 3

Cálculo detalhado do item (a): taxa de calor sem isolante (apenas cobre + convecção externa).
Passo-a-passo:
  • Raios usados (peguei dos dados): r_1=r_i=0,15\\ \mathrm{m} (superfície interna), r_2=0,17\\ \mathrm{m} (superfície externa do cobre).
  • Resistência por condução no cobre:
R_{\text{cu}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi L k_{\text{cu}}}.
Substituindo:
\ln\!\left(\dfrac{0,17}{0,15}\right)=\ln(1,13333\ldots)=0,125657\ldots
R_{\text{cu}}=\frac{0,125657}{2\pi\cdot 20\cdot 450}.
Calculemos o denominador: 2\pi\cdot 20\cdot 450=56548{,}7 (aprox.). Assim
R_{\text{cu}}\approx 2{,}22\times 10^{-6}\\ \mathrm{^\circ C/W}.
Comentário: muito pequeno — cobre é excelente condutor.
  • Resistência convectiva externa (na superfície do cobre, raio r_2):
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h(2\pi r_2 L)}=\frac{1}{0,5\cdot 2\pi\cdot 0,17\cdot 20}.
Calcule o denominador: 2\pi r_2 L=2\pi\cdot 0,17\cdot 20=21{,}36283\\ \mathrm{m^2}. Então
R_{\text{conv}}\approx \frac{1}{0,5\cdot 21{,}36283}=\frac{1}{10{,}681415}\approx 0{,}09363\\ \mathrm{^\circ C/W}.
  • Resistência total:
R_{\text{total}}=R_{\text{cu}}+R_{\text{conv}}\approx 2{,}22\times10^{-6}+0{,}09363\approx 0{,}09363\\ \mathrm{^\circ C/W}.
(A resistência do cobre é desprezível frente à convecção.)
  • Taxa de calor:
\dot{Q}_a=\frac{T_i-T_\infty}{R_{\text{total}}}=\frac{50-20}{0{,}09363}\\ \mathrm{W}.
\dot{Q}_a\approx \frac{30}{0{,}09363}\approx 320{,}6\\ \mathrm{W}.
Interpretação curta: o gargalo é a convecção externa (h muito pequeno), por isso o cobre fino não impede muito calor. Resultado final do item (a) anotado para referência posterior:
\dot{Q}_a\approx 320{,}6\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Preparando o problema do item (b): reduzir a taxa de calor à metade adicionando isolante.
  • Meta: \dot{Q}_{\text{meta}}=\dfrac{\dot{Q}_a}{2}\approx 160{,}3\\ \mathrm{W}.
  • Com isolante de raio externo r_3=r_2+t (onde t é a espessura do isolante que queremos), a resistência total passa a ser:
R_{\text{total}}=R_{\text{cu}}+R_{\text{ins}}+R_{\text{conv,ext}},
com
R_{\text{ins}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_3}{r_2}\right)}{2\pi L k_{\text{ins}}},\qquad R_{\text{conv,ext}}=\frac{1}{h(2\pi r_3 L)}.
  • Queremos R_{\text{total}}=\dfrac{T_i-T_\infty}{\dot{Q}_{\text{meta}}}. Então definimos
R_{\text{req}}=\frac{T_i-T_\infty}{\dot{Q}_{\text{meta}}}
e resolvemos para r_3 a equação
\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_3}{r_2}\right)}{2\pi L k_{\text{ins}}}+\frac{1}{h(2\pi r_3 L)}+R_{\text{cu}}=R_{\text{req}}.
Vou reorganizar multiplicando por 2\pi L (para simplificar os números no cálculo numérico):
\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_3}{r_2}\right)}{k_{\text{ins}}}+\frac{1}{h r_3} = 2\pi L(R_{\text{req}}-R_{\text{cu}}).

Passo 5

Cálculo numérico do raio externo r_3 (resolução da equação por iteração) — explicando o método usado.
  • Primeiro calculemos R_{\text{req}}:
\dot{Q}_{\text{meta}}=\frac{\dot{Q}_a}{2}\approx 160{,}3\\ \mathrm{W},
R_{\text{req}}=\frac{T_i-T_\infty}{\dot{Q}_{\text{meta}}}=\frac{30}{160{,}3}\approx 0{,}1872\\ \mathrm{^\circ C/W}.
  • Constante A=2\pi L=2\pi\cdot 20\approx 125{,}6637.
  • Lado direito da equação (chame de B):
B=A\,(R_{\text{req}}-R_{\text{cu}})\approx 125{,}6637\cdot(0{,}1872-2{,}22\times10^{-6})\approx 23{,}52\quad(\text{aprox.}).
  • Definimos a função em r_3:
f(r_3)=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_3}{r_2}\right)}{k_{\text{ins}}}+\frac{1}{h r_3}-B.
Queremos f(r_3)=0.
Método de solução: usei tentativa/erro (iteração simples) porque a equação é transcendental; faço algumas avaliações para localizar a raiz e depois interpolo linearmente para refinar — isso é simples e seguro para prova de cálculo numérico manual.
Avaliações (mostrando contas):
  • Para r_3=0{,}50\\ \mathrm{m}:
    \ln\!\left(\frac{0{,}50}{0{,}17}\right)=1{,}079,\quad \frac{1{,}079}{0{,}085}=12{,}694,\quad \frac{1}{0{,}5\cdot 0{,}50}=4{,}000.
    Soma =16{,}694 menor que B\approx 23{,}52 → precisamos de r_3 maior.
  • Para r_3=1{,}00\\ \mathrm{m}:
    \ln\!\left(\frac{1{,}00}{0{,}17}\right)=1{,}770,\quad \frac{1{,}770}{0{,}085}=20{,}823,\quad \frac{1}{0{,}5\cdot 1{,}00}=2{,}000.
    Soma =22{,}823, ainda um pouco menor que B.
  • Para r_3=1{,}10\\ \mathrm{m}:
    \ln\!\left(\frac{1{,}10}{0{,}17}\right)=1{,}867,\quad \frac{1{,}867}{0{,}085}=21{,}964,\quad \frac{1}{0{,}5\cdot 1{,}10}\approx 1{,}818.
    Soma =23{,}782 maior que B.
Logo a raiz está entre r_3=1{,}00\\ \mathrm{m} e r_3=1{,}10\\ \mathrm{m}. Agora faço interpolação linear (método simples) entre esses pontos para refinar:
  • Em r_3=1{,}00\\ \mathrm{m} a soma é S_1=22{,}823.
  • Em r_3=1{,}10\\ \mathrm{m} a soma é S_2=23{,}782.
    Queremos S=B\approx 23{,}520.
Interpolando:
r_3\approx 1{,}00 + (1{,}10-1{,}00)\cdot\frac{23{,}520-22{,}823}{23{,}782-22{,}823}.
Calcule o numerador: 23{,}520-22{,}823=0{,}697. Denominador: 0{,}959. Fração \approx 0{,}727. Então
r_3\approx 1{,}00+0{,}10\cdot 0{,}727\approx 1{,}0727\\ \mathrm{m}.
Refinando um pouco mais com uma avaliação em r_3\approx 1{,}072\\ \mathrm{m} obtém-se praticamente igualdade. Portanto:
r_3\approx 1{,}072\\ \mathrm{m}.
  • Espessura do isolante:
t=r_3-r_2\approx 1{,}072-0{,}17=0{,}902\\ \mathrm{m}\approx 90{,}2\\ \mathrm{cm}.
Comentário físico: espessura grande porque o coeficiente convectivo externo h é muito baixo (ar quieto), então para reduzir o fluxo pela metade é necessário muito material isolante — é um resultado que assusta, mas é real fisicamente.

Passo 6

Cálculo do item (c): volume e custo do isolante.
  • Volume do isolante (casca cilíndrica entre raios r_2 e r_3, comprimento L):
V=\pi L\left(r_3^2-r_2^2\right).
Substituindo r_3\approx 1{,}072\\ \mathrm{m} e r_2=0{,}17\\ \mathrm{m}:
r_3^2\approx 1{,}072^2\approx 1{,}149,\qquad r_2^2=0{,}17^2=0{,}0289.
r_3^2-r_2^2\approx 1{,}149-0{,}0289=1{,}1201.
V\approx \pi\cdot 20\cdot 1{,}1201\approx 70{,}38\\ \mathrm{m^3}.
  • Custo do isolante (preço 10{,}00\\ \mathrm{R\$/m^3}):
\text{Custo}=10{,}00\cdot V\approx 10{,}00\cdot 70{,}38\approx 703{,}8\\ \mathrm{R\$}.

Passo 7

Resumo numérico dos resultados com arredondamento adequado (para a prova, fornecer valores com 3 algarismos significativos ou conforme solicitado):
  • (a) Taxa de calor perdida sem isolante:
\dot{Q}_a\approx 320{,}6\\ \mathrm{W}.
  • (b) Espessura do isolante necessária para reduzir a taxa de calor à metade:
t\approx 0{,}902\\ \mathrm{m}\quad(\text{aprox. }90{,}2\\ \mathrm{cm}).
  • (c) Custo do isolante para atender o item (b):
\text{Custo}\approx 703{,}8\\ \mathrm{R\$}.

Resposta

(a) \dot{Q}\approx 320{,}6\\ \mathrm{W}
(b) t\approx 0{,}902\\ \mathrm{m}
(c) \text{Custo}\approx 703{,}8\\ \mathrm{R\$}

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