Considere dois recipientes idênticos, um deles contendo um mol de gás monoatômico A de massa 1,7 \times 10^{-} { }^{27} \mathrm{Kg} e o outro um mol de gás monoatômico B de massa 0,7 \times 10^{-27} \mathrm{Kg}, ambos a mesma pressão de 5,4 Atm e temperatura 74^{\circ} \mathrm{C}. Calcule qual deveria ser a temperatura em Kelvin do recipiente contendo o gás A , para que as moléculas de A e B tenham a mesma velocidade quadrática média. Considere \mathrm{T}_{\mathrm{k}}=\mathrm{T}_{\mathrm{c}}+273,15. Resposta com números inteiros.
Resposta: □ ◯ K

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados que peguei do enunciado:
    • Massa por molécula do gás A: m_A = 1,7\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
    • Massa por molécula do gás B: m_B = 0,7\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
    • Ambos os recipientes estão inicialmente à mesma pressão 5,4\\ \mathrm{atm} e mesma temperatura 74^\circ\mathrm{C}.
    • Conversão da temperatura: T_{\mathrm{k}} = T_{\mathrm{c}} + 273,15.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a temperatura (em Kelvin) que o recipiente contendo o gás A deve ter, para que as moléculas de A e B apresentem a mesma velocidade quadrática média (ou velocidade RMS).

Passo 2

Conceito e fórmula necessária (explicação didática).
  • A velocidade quadrática média (velocidade RMS) de partículas de um gás ideal está dada por
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac{3kT}{m}},
onde:
  • v_{\mathrm{rms}} é a velocidade quadrática média (em \mathrm{m/s});
  • k é a constante de Boltzmann ( k não será necessária numericamente neste problema, só a sua presença na fórmula);
  • T é a temperatura absoluta em Kelvin;
  • m é a massa de uma partícula (molécula) em quilogramas.
  • Observação importante (truque útil): para duas espécies diferentes, se queremos v_{\mathrm{rms},A}=v_{\mathrm{rms},B}, então, aplicando a fórmula,
\sqrt{\dfrac{3kT_A}{m_A}}=\sqrt{\dfrac{3kT_B}{m_B}}.
Os fatores 3k cancelam ao quadrar e simplificar, resultando numa relação simples entre temperaturas e massas:
\dfrac{T_A}{m_A}=\dfrac{T_B}{m_B}\quad\Rightarrow\quad T_A=T_B\cdot\dfrac{m_A}{m_B}.
Isto significa: para igualar as velocidades RMS, a temperatura deve ser proporcional à massa da molécula.

Passo 3

Converter a temperatura dada de 74^\circ\mathrm{C} para Kelvin — esta será a temperatura de referência de B.
  • Conversão:
T_B = 74 + 273,15 = 347,15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular a razão das massas \dfrac{m_A}{m_B} com os números do enunciado.
  • Substituindo:
\dfrac{m_A}{m_B}=\dfrac{1,7\times10^{-27}}{0,7\times10^{-27}}=\dfrac{1,7}{0,7}.
  • Simplificando a fração:
\dfrac{1,7}{0,7}=\dfrac{17}{7}\approx2,4285714286.

Passo 5

Usar a relação encontrada em

Passo 6

  • Fórmula:
T_A=T_B\cdot\dfrac{m_A}{m_B}.
  • Substituindo valores:
T_A=347,15\cdot\dfrac{17}{7}.

Passo 7

Fazer a multiplicação/divisão passo a passo (para poder fazer sem calculadora na prova).
  • Primeiro calcule 347,15\times17:
347,15\times17 = 347,15\times(10+7)=3471,5+2430,05=5901,55.
  • Agora divida por 7:
T_A=\dfrac{5901,55}{7}=843,0785714\ldots\\ \mathrm{K}.

Passo 8

Arredondamento e decisão final.
  • O enunciado pede resposta com números inteiros. Arredondando ao inteiro mais próximo:
T_A \approx 843\\ \mathrm{K}.

Resposta

843 K

Exercícios relacionados