Um determinado líquido escoa, em regime permanente, através de uma tubulação horizontal de
de diâmetro e a tensão de cisalhamento sobre a parede é de
. Calcule a queda de pressão em 30 m desta tubulação.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (listei tudo claramente):
- Diâmetro da tubulação:
. - Tensão de cisalhamento na parede:
. - Comprimento considerado da tubulação:
. - A tubulação é horizontal e o escoamento está em regime permanente.
- Pergunta: calcular a queda de pressão ao longo de
da tubulação (ou seja, a diferença de pressão entre entrada e saída ao longo desse comprimento).
Passo 2
Ideia física e escolha do método (explicação didática):
- Para escoamento plenamente desenvolvido em uma tubulação circular, a variação de pressão ao longo do comprimento é equilibrada pela força de cisalhamento exercida na parede.
- Vamos aplicar o balanço de forças na direção axial sobre um cilindro de fluido de raio
e comprimento : a diferença de pressão entre as duas faces do cilindro é equilibrada pela força de cisalhamento ao longo da parede lateral. Isso dá uma relação direta entre o gradiente de pressão e a tensão de cisalhamento na parede, que é fácil de integrar para obter a queda de pressão em .
Passo 3
Definição das áreas e perímetro usados no balanço (explicando as variáveis):
- Área da seção transversal do tubo:
, onde é o raio da tubulação. - Perímetro interno (onde atua o cisalhamento):
. - Notação do campo de pressão:
é a pressão axial; o gradiente será . - A tensão de cisalhamento na parede é
(fornecida).
Passo 4
Balanço de forças e dedução da fórmula (passo a passo com álgebra):
- Forças na direção axial sobre volume cilíndrico de comprimento
: - Força de pressão na face x:
. - Força de pressão na face x+dx:
. - Força de cisalhamento na parede (ato para todo comprimento
): .
- Força de pressão na face x:
- Equilíbrio (soma das forças = 0):
- Simplificando:
- Dividindo por
e isolando o gradiente:
- Substituindo
e :
- Interpretação: o sinal negativo indica que a pressão diminui no sentido do escoamento; o módulo do gradiente é
.
Passo 5
Integração para obter a queda de pressão em um comprimento finito:
- A queda de pressão (diferença entre pressão de entrada e de saída) em um trecho de comprimento
é
- Alternativamente, usando o diâmetro
, a fórmula pode ser escrita como
o que é uma forma prática para memorizar.
Passo 6
Aplicação numérica com todas as contas explicadas passo a passo:
- Primeiro calcule o raio a partir do diâmetro (preste atenção à vírgula decimal):
- Use a fórmula
. Substituindo os valores:
- Calcule em etapas:
-
. -
(ou ). - Multiplicando por
: .
-
- Portanto:
- Em unidades mais usuais para engenharia:
.
Passo 7
Dica prática para a prova (resumo curtinho e intuitivo):
- Fórmula pronta e fácil de decorar:
. Para usar, coloque em metros, em e em metros; o resultado sai em pascal. - Interprete o resultado: maior
ou maior aumentam a perda de carga; maior diminui a perda (porque a área cresce e a razão perímetro/área diminui).