Um determinado líquido escoa, em regime permanente, através de uma tubulação horizontal de 0,15 \mathrm{~m} de diâmetro e a tensão de cisalhamento sobre a parede é de 10 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}. Calcule a queda de pressão em 30 m desta tubulação.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (listei tudo claramente):
  • Diâmetro da tubulação: D=0,15\\ \mathrm{m}.
  • Tensão de cisalhamento na parede: \tau_w=10\\ \mathrm{N/m^{2}}.
  • Comprimento considerado da tubulação: L=30\\ \mathrm{m}.
  • A tubulação é horizontal e o escoamento está em regime permanente.
  • Pergunta: calcular a queda de pressão ao longo de 30\\ \mathrm{m} da tubulação (ou seja, a diferença de pressão entre entrada e saída ao longo desse comprimento).

Passo 2

Ideia física e escolha do método (explicação didática):
  • Para escoamento plenamente desenvolvido em uma tubulação circular, a variação de pressão ao longo do comprimento é equilibrada pela força de cisalhamento exercida na parede.
  • Vamos aplicar o balanço de forças na direção axial sobre um cilindro de fluido de raio R e comprimento L: a diferença de pressão entre as duas faces do cilindro é equilibrada pela força de cisalhamento ao longo da parede lateral. Isso dá uma relação direta entre o gradiente de pressão e a tensão de cisalhamento na parede, que é fácil de integrar para obter a queda de pressão em L.

Passo 3

Definição das áreas e perímetro usados no balanço (explicando as variáveis):
  • Área da seção transversal do tubo: A=\pi R^{2}, onde R é o raio da tubulação.
  • Perímetro interno (onde atua o cisalhamento): P=2\pi R.
  • Notação do campo de pressão: p(x) é a pressão axial; o gradiente será \dfrac{dp}{dx}.
  • A tensão de cisalhamento na parede é \tau_w (fornecida).

Passo 4

Balanço de forças e dedução da fórmula (passo a passo com álgebra):
  • Forças na direção axial sobre volume cilíndrico de comprimento dx:
    • Força de pressão na face x: p(x)\,A.
    • Força de pressão na face x+dx: \bigl(p(x)+dp\bigr)\,A.
    • Força de cisalhamento na parede (ato para todo comprimento dx): \tau_w\,P\,dx.
  • Equilíbrio (soma das forças = 0):
p(x)A - \bigl(p(x)+dp\bigr)A + \tau_w P\,dx = 0.
  • Simplificando:
-\,dp\;A + \tau_w P\,dx = 0.
  • Dividindo por dx e isolando o gradiente:
-\,\frac{dp}{dx}\,A + \tau_w P = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dp}{dx} = -\,\frac{\tau_w P}{A}.
  • Substituindo A=\pi R^{2} e P=2\pi R:
\frac{dp}{dx} = -\,\frac{\tau_w (2\pi R)}{\pi R^{2}} = -\,\frac{2\tau_w}{R}.
  • Interpretação: o sinal negativo indica que a pressão diminui no sentido do escoamento; o módulo do gradiente é 2\tau_w/R.

Passo 5

Integração para obter a queda de pressão em um comprimento finito:
  • A queda de pressão (diferença entre pressão de entrada e de saída) em um trecho de comprimento L é
\Delta p = p_{\text{in}}-p_{\text{out}} = -\int_{0}^{L}\frac{dp}{dx}\,dx = \int_{0}^{L}\frac{2\tau_w}{R}\,dx = \frac{2\tau_w}{R}\,L.
  • Alternativamente, usando o diâmetro D=2R, a fórmula pode ser escrita como
\Delta p = \frac{4\tau_w L}{D},
o que é uma forma prática para memorizar.

Passo 6

Aplicação numérica com todas as contas explicadas passo a passo:
  • Primeiro calcule o raio a partir do diâmetro (preste atenção à vírgula decimal):
R=\frac{D}{2}=\frac{0,15}{2}=0,075\\ \mathrm{m}.
  • Use a fórmula \Delta p=\dfrac{2\tau_w}{R}\,L. Substituindo os valores:
\Delta p = \frac{2\cdot 10}{0,075}\cdot 30.
  • Calcule em etapas:
    • 2\cdot 10 = 20.
    • \dfrac{20}{0,075}=266{,}666\ldots (ou 20\times \dfrac{1}{0,075}=20\times 13{,}333\ldots).
    • Multiplicando por 30: 266{,}666\ldots \times 30 = 8000.
  • Portanto:
\Delta p = 8000\\ \mathrm{Pa}.
  • Em unidades mais usuais para engenharia: 8000\\ \mathrm{Pa}=8\\ \mathrm{kPa}.

Passo 7

Dica prática para a prova (resumo curtinho e intuitivo):
  • Fórmula pronta e fácil de decorar: \displaystyle \Delta p=\frac{4\tau_w L}{D}. Para usar, coloque D em metros, \tau_w em \mathrm{N/m^{2}} e L em metros; o resultado sai em pascal.
  • Interprete o resultado: maior \tau_w ou maior L aumentam a perda de carga; maior D diminui a perda (porque a área cresce e a razão perímetro/área diminui).

Resposta

\Delta p = 8\,000\\ \mathrm{Pa} = 8\\ \mathrm{kPa}

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