Considere uma tubulação de Cobre de 200 m de comprimento que transporta vapor de água à 150^{\circ} \mathrm{C}, mas exposto ao meio ambiente \left(25^{\circ} \mathrm{C}\right), com as seguintes características técnicas:
lCu 450 W/m.K
hint 100 \mathrm{~W} / \mathrm{m} 2 \mathrm{~K}
Dint 10 cm
Dext 15 cm
hext 75 \mathrm{~W} / \mathrm{m} 2 \mathrm{~K}
Sisol 5 cm
kisol 0,25 W/m.K
Custo Energético 1.10^{-5} \mathrm{R} \$ / \mathrm{J}
*CUIDADO, o valor da espessura deve ser somado ao raio externo ou duas vezes ao diâmetro externo.
Calcule a diferença em módulo entre as taxas de calores perdidos com e sem o isolante em W .

Passo 1

O enunciado trata de uma tubulação cilíndrica de cobre com vapor interno à 150^\circ\mathrm C e ambiente externo a 25^\circ\mathrm C. Vamos comparar as perdas de calor sem e com um isolante de espessura S_{\rm isol}=5\\ \mathrm{cm}. O método envolve representar as resistências térmicas em série: convecção interna, condução na parede de cobre, condução no isolante (quando houver) e convecção externa, e usar
Q = \frac{\Delta T}{R_{\rm total}}
onde \Delta T = 150 - 25 =125\\ \mathrm K.

Passo 2

Calcular as resistências sem isolante. Dados geométricos: raio interno
r_{\rm i}=\frac{D_{\rm int}}{2}=0,05\\ \mathrm m,
raio externo da tubulação
r_{\rm e}= \frac{D_{\rm ext}}{2}=0,075\\ \mathrm m,
comprimento L=200\\ \mathrm m.
Áreas de troca:
A_{\rm i}=2\pi\,r_{\rm i}\,L=2\pi\cdot0,05\cdot200\approx62{,}83\\ \mathrm{m^2},
A_{\rm e}=2\pi\,r_{\rm e}\,L=2\pi\cdot0,075\cdot200\approx94{,}25\\ \mathrm{m^2}.
Resistências térmicas:
R_{\rm conv,i}=\frac{1}{h_{\rm int}\,A_{\rm i}} =\frac{1}{100\cdot62{,}83}\approx1{,}59\times10^{-4}\\ \mathrm{K/W},
R_{\rm cond,cu}=\frac{\ln\!\bigl(r_{\rm e}/r_{\rm i}\bigr)}{2\pi\,k_{\rm Cu}\,L} =\frac{\ln(0,075/0,05)}{2\pi\cdot450\cdot200}\approx7{,}17\times10^{-7}\\ \mathrm{K/W},
R_{\rm conv,e}=\frac{1}{h_{\rm ext}\,A_{\rm e}} =\frac{1}{75\cdot94{,}25}\approx1{,}41\times10^{-4}\\ \mathrm{K/W}.
Logo
R_{\rm tot,\\ no\\ isol} = R_{\rm conv,i}+R_{\rm cond,cu}+R_{\rm conv,e} \approx3{,}01\times10^{-4}\\ \mathrm{K/W}.

Passo 3

Calcular a taxa de calor sem isolante:
Q_{\rm no\\ isol} =\frac{\Delta T}{R_{\rm tot,\\ no\\ isol}} =\frac{125}{3{,}01\times10^{-4}} \approx4{,}15\times10^{5}\\ \mathrm W.

Passo 4

Calcular as resistências com isolante. O isolante aumenta o raio externo para
r_{\rm iso}=r_{\rm e}+S_{\rm isol}=0,075+0,05=0,125\\ \mathrm m,
e sua área externa
A_{\rm iso}=2\pi\,r_{\rm iso}\,L=2\pi\cdot0,125\cdot200\approx157{,}08\\ \mathrm{m^2}.
Resistência de condução no isolante:
R_{\rm cond,isol} =\frac{\ln(r_{\rm iso}/r_{\rm e})}{2\pi\,k_{\rm isol}\,L} =\frac{\ln(0,125/0,075)}{2\pi\cdot0,25\cdot200} \approx1{,}63\times10^{-3}\\ \mathrm{K/W}.
Resistência de convecção externa passará a ser
R_{\rm conv,iso} =\frac{1}{h_{\rm ext}\,A_{\rm iso}} =\frac{1}{75\cdot157{,}08} \approx8{,}49\times10^{-5}\\ \mathrm{K/W}.
Somando-se todas em série:
R_{\rm tot,\\ com\\ isol} =R_{\rm conv,i}+R_{\rm cond,cu}+R_{\rm cond,isol}+R_{\rm conv,iso} \approx1{,}87\times10^{-3}\\ \mathrm{K/W}.

Passo 5

Calcular a taxa de calor com isolante:
Q_{\rm com\\ isol} =\frac{\Delta T}{R_{\rm tot,\\ com\\ isol}} =\frac{125}{1{,}87\times10^{-3}} \approx6{,}67\times10^{4}\\ \mathrm W.

Passo 6

Diferença em módulo entre as taxas de calor:
\bigl|Q_{\rm no\\ isol}-Q_{\rm com\\ isol}\bigr| \approx\bigl|4{,}15\times10^{5}-6{,}67\times10^{4}\bigr| \approx3{,}48\times10^{5}\\ \mathrm W.

Resposta

A diferença entre as taxas de calor perdidas com e sem isolante é aproximadamente
3,48\times10^{5}\\ \mathrm W.

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