Considere tubulações com os seguintes diâmetros internos: 17,5mm; 25 \mathrm{~mm} ; 32 \mathrm{~mm} ; 50 \mathrm{~mm} ; 75 \mathrm{~mm}. Escoa água através dessas tubulações. Qual é a velocidade mínima do escoamento em cada uma dessas tubulações para que o escoamento seja turbulento?

Passo 1

O enunciado dá os diâmetros internos das tubulações e pede a velocidade mínima do escoamento de água em cada uma para que o escoamento seja turbulento.
Dados fornecidos:
  • Diâmetros internos: \,D=17{,}5\\ \mathrm{mm},\\\ 25\\ \mathrm{mm},\\\ 32\\ \mathrm{mm},\\\ 50\\ \mathrm{mm},\\\ 75\\ \mathrm{mm}.
Pergunta:
  • Qual é a velocidade mínima do escoamento em cada tubulação para que o escoamento seja turbulento?
Observação importante (decisão feita sem perguntar): o enunciado não dá temperatura da água nem o critério numérico exato para “turbulento”. Vou assumir que:
  • Critério para turbulência: \mathrm{Re}_{\text{cr}} = 4000 (fluxo considerado turbulento para \mathrm{Re}\gtrsim4000).
  • Água à temperatura aproximada de 20^\circ\mathrm{C}. Para essa temperatura usarei:
    • massa específica \rho = 998\\ \mathrm{kg/m^3},
    • viscosidade dinâmica \mu = 1{,}002\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
      Estes valores são razoáveis para problemas de prova; se a temperatura real for diferente, os resultados mudam porque a viscosidade muda.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (aulas rápidas):
  • Número de Reynolds: \mathrm{Re}=\dfrac{\rho\,v\,D}{\mu}.
    • \mathrm{Re} é adimensional e mede a razão entre forças inerciais e viscosas no escoamento.
    • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^3}).
    • v é a velocidade média do escoamento ( \mathrm{m/s}).
    • D é o diâmetro interno da tubulação ( \mathrm{m}).
    • \mu é a viscosidade dinâmica ( \mathrm{Pa\cdot s}).
  • Alternativamente usa-se a viscosidade cinemática \nu=\dfrac{\mu}{\rho} (unidade \mathrm{m^2/s}), e a fórmula simplifica para \mathrm{Re}=\dfrac{v\,D}{\nu}.
  • Para achar a velocidade mínima v_{\min} que gera \mathrm{Re}=\mathrm{Re}_{\text{cr}}, isolamos v: v_{\min}=\dfrac{\mathrm{Re}_{\text{cr}}\;\nu}{D}.
Aqui:
  • \mathrm{Re}_{\text{cr}}=4000 (assumido),
  • \nu=\dfrac{\mu}{\rho} a calcular a seguir.

Passo 3

Calcular a viscosidade cinemática \nu a partir de \mu e \rho:
\nu=\dfrac{\mu}{\rho}=\dfrac{1{,}002\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}}{998\\ \mathrm{kg/m^3}}.
Fazendo a divisão:
\nu\approx 1{,}004008016\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}\approx 1{,}004\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
Para os cálculos abaixo vou usar \nu=1{,}004\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s} (mantendo precisão suficiente para prova).

Passo 4

Converter os diâmetros de \mathrm{mm} para \mathrm{m}:
\begin{aligned} D_1&=17{,}5\\ \mathrm{mm}=0{,}0175\\ \mathrm{m},\\\ D_2&=25\\ \mathrm{mm}=0{,}025\\ \mathrm{m},\\\ D_3&=32\\ \mathrm{mm}=0{,}032\\ \mathrm{m},\\\ D_4&=50\\ \mathrm{mm}=0{,}050\\ \mathrm{m},\\\ D_5&=75\\ \mathrm{mm}=0{,}075\\ \mathrm{m}. \end{aligned}

Passo 5

Aplicar a fórmula v_{\min}=\dfrac{\mathrm{Re}_{\text{cr}}\;\nu}{D} para cada diâmetro, com \mathrm{Re}_{\text{cr}}=4000 e \nu=1{,}004\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
Cálculo preliminar comum:
\mathrm{Re}_{\text{cr}}\;\nu=4000\times1{,}004\times10^{-6}=0{,}004016\\ (\text{m}^2/\text{s}).
Agora cada caso:
  1. Para D_1=0{,}0175\\ \mathrm{m}:
v_{\min,1}=\dfrac{0{,}004016}{0{,}0175}=0{,}229202\ldots\\ \mathrm{m/s}\approx0{,}229\\ \mathrm{m/s}.
  1. Para D_2=0{,}025\\ \mathrm{m}:
v_{\min,2}=\dfrac{0{,}004016}{0{,}025}=0{,}16064\\ \mathrm{m/s}\approx0{,}161\\ \mathrm{m/s}.
  1. Para D_3=0{,}032\\ \mathrm{m}:
v_{\min,3}=\dfrac{0{,}004016}{0{,}032}=0{,}1255\\ \mathrm{m/s}\approx0{,}126\\ \mathrm{m/s}.
  1. Para D_4=0{,}050\\ \mathrm{m}:
v_{\min,4}=\dfrac{0{,}004016}{0{,}050}=0{,}08032\\ \mathrm{m/s}\approx0{,}0803\\ \mathrm{m/s}.
  1. Para D_5=0{,}075\\ \mathrm{m}:
v_{\min,5}=\dfrac{0{,}004016}{0{,}075}=0{,}053546\ldots\\ \mathrm{m/s}\approx0{,}0535\\ \mathrm{m/s}.
Expliquei cada passo de conta; dá para fazer essas divisões à mão com regra de três ou divisão longa numa prova se necessário. Note que os valores são pequenos — para tubos grandes a velocidade necessária para atingir turbulência é menor, pois o diâmetro aparece no denominador.

Passo 6

Comentários finais e cuidado prático:
  • Usei \mathrm{Re}_{\text{cr}}=4000. Alguns autores consideram a transição entre \mathrm{Re}\approx2300 e \mathrm{Re}\approx4000; se for usado \mathrm{Re}_{\text{cr}}=2300 as velocidades mínimas cairiam proporcionalmente (multiplicando por 2300/4000\approx0{,}575).
  • A viscosidade depende bastante da temperatura. Se a água estiver mais quente, \nu aumenta ou diminui? (dica: para água, \nu aumenta com temperatura até certo ponto? na prática, entre 0^\circC e 100^\circC \nu varia bastante — ver tabela; em 40^\circC \nu é menor que em 20^\circC). Se \nu for diferente, recalcular com \nu novo.
  • Para uma prova, deixe claro quais valores assumiu ( \rho,\mu,\mathrm{Re}_{\text{cr}}) e calcule como mostrei.

Resposta

D=17{,}5\\ \mathrm{mm}:\\ v_{\min}\approx0{,}229\\ \mathrm{m/s}
D=25\\ \mathrm{mm}:\\ v_{\min}\approx0{,}161\\ \mathrm{m/s}
D=32\\ \mathrm{mm}:\\ v_{\min}\approx0{,}126\\ \mathrm{m/s}
D=50\\ \mathrm{mm}:\\ v_{\min}\approx0{,}0803\\ \mathrm{m/s}
D=75\\ \mathrm{mm}:\\ v_{\min}\approx0{,}0535\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados