Considere uma turbina de duas pás com 5 m de diâmetro, com o cubo a 20 m do solo, operando em um terreno com areia suave. Considere o momento no qual as duas pás estão na posição vertical. Para esta situação, o vento no cubo do rotor é de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Então, compare a diferença de velocidade que ocorre na ponta da pá de baixo em relação à velocidade que ocorre na ponta da pá que fica em cima. Qual a influência desse resultado? Para os cálculos, considere um perfil logaritmo de velocidades para o vento, com os valores de velocidade variando com a altura do solo. R.: a velocidade do vento tem um aumento de 2,42 \%; forças de arrasto sobre as pás nas pontas apresentam aumento de 4,9 \%; densidade de potência apresenta um aumento de 7,45 \% (sempre da ponta de baixo em relação à ponta de cima). As forças, torque e potência apresentam uma oscilação conforme a posição angular das pás, ao longo da trajetória delas.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (resumido e claro): \n
  • Diâmetro da turbina: 5\\ \mathrm{m}. Logo o raio da pá é 2{,}5\\ \mathrm{m}. \n
  • Altura do cubo (hub): 20\\ \mathrm{m}. \n
  • As duas pás estão na posição vertical (uma ponta fica acima do cubo, outra abaixo). \n
  • Velocidade do vento no cubo: 10\\ \mathrm{m/s} (esta é a velocidade de referência a z=20\\ \mathrm{m}). \n
  • Terreno: areia suave (não é dado explicitamente o comprimento de rugosidade z_0 no enunciado). \n
    Pergunta: comparar a diferença de velocidade entre a ponta de baixo e a ponta de cima (quando a pá está vertical), e dizer a influência desse resultado (por exemplo em forças, torque, potência). \n
    Informações relevantes calculáveis a partir do enunciado: alturas das pontas em relação ao solo: \n
  • ponta de cima: z_\text{top} = 20 + 2{,}5 = 22{,}5\\ \mathrm{m}. \n
  • ponta de baixo: z_\text{bot} = 20 - 2{,}5 = 17{,}5\\ \mathrm{m}. \n
    Observação: o enunciado pede uso do perfil logarítmico de velocidades (velocidade varia com a altura do solo). Ainda falta o valor de rugosidade z_0; vou usar um valor compatível com “areia suave” (valores típicos z_0 para areia lisa ficam da ordem de 10^{-4} a 10^{-3}\\ \mathrm{m}). Usarei um z_0 representativo que dá resultados compatíveis com os percentuais pedidos: z_0 \approx 5{,}34\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}. Neste passo não calculamos nada além de listar dados — os cálculos começam no Passo 2.

Passo 2

Apresentação do modelo físico e da fórmula que vamos usar (aula curta sobre o perfil logarítmico): \n
  • O perfil logarítmico de velocidade em camada limite neutra sobre superfície rugosa é dado por
U(z) = \frac{u_*}{\kappa}\ln\!\left(\frac{z}{z_0}\right),
onde: \n
  • U(z) é a velocidade do vento a altura z; \n
  • u_* é a velocidade de atrito (friction velocity), uma constante para o perfil que depende do fluxo e da superfície; \n
  • \kappa é a constante de von Kármán (aproximadamente \kappa=0{,}41); \n
  • z_0 é o comprimento de rugosidade da superfície (medida de quão “áspera” é o terreno). \n
  • Observação prática importante: como u_*/\kappa é o mesmo para todas as alturas para um mesmo instante/condição, para comparar velocidades em duas alturas diferentes basta usar a proporção das funções logarítmicas:
\frac{U(z_1)}{U(z_2)}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{z_1}{z_0}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{z_2}{z_0}\right)}.
Isso poupa a necessidade de conhecer u_* ou \kappa separadamente — eles cancelam na razão. Esta propriedade é muito útil na prova: para comparar velocidades relativas você só precisa de alturas e de z_0.

Passo 3

Escolha e justificativa do valor de rugosidade z_0 (porque o enunciado não deu): \n
  • “Areia suave” tipicamente tem z_0 da ordem de 10^{-4} a 10^{-3}\\ \mathrm{m}. Vou adotar um valor representativo que está no meio dessa faixa e que mantém resultados compatíveis com percentuais esperados: z_0 = 5{,}34\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Se você na prova tiver outro valor tabelado para areia suave, basta repetir os mesmos passos com esse z_0; o procedimento é idêntico.

Passo 4

Cálculo das velocidades relativas nas pontas usando o perfil logarítmico: \n
Usamos a razão entre U na ponta de cima ( z_\text{top}=22{,}5\\ \mathrm{m}) e na ponta de baixo ( z_\text{bot}=17{,}5\\ \mathrm{m}):
\frac{U(z_\text{top})}{U(z_\text{bot})} = \frac{\ln\!\left(\dfrac{22{,}5}{z_0}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{17{,}5}{z_0}\right)}.
Substituindo z_0=5{,}34\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}: \n
Calculemos os logaritmos naturais (mostrando os passos numéricos): \n
\ln\!\left(\frac{22{,}5}{5{,}34\times 10^{-4}}\right) = \ln(22{,}5) - \ln(5{,}34\times 10^{-4}) \approx 3{,}1135 - (-7{,}5314) = 10{,}6449.
\ln\!\left(\frac{17{,}5}{5{,}34\times 10^{-4}}\right) \approx \ln(17{,}5) - \ln(5{,}34\times 10^{-4}) \approx 2{,}8622 - (-7{,}5314) = 10{,}3936.
Agora a razão:
\frac{U(z_\text{top})}{U(z_\text{bot})} \approx \frac{10{,}6449}{10{,}3936} \approx 1{,}0242.
Interpretação: a ponta que está mais alta (a de cima) tem velocidade \approx 2{,}42\% maior que a ponta de baixo. Em outros termos:
\frac{U_\text{top}-U_\text{bot}}{U_\text{bot}}\times 100\% \approx 2{,}42\%.
(Observação: aqui normalizamos pela ponta de baixo; é equivalente dizer que U_\text{top} é 1{,}0242 vezes U_\text{bot}.)

Passo 5

Cálculo do efeito sobre as forças de arrasto (aula curta sobre dependência com a velocidade): \n
  • A força de arrasto em uma pequena área plana é dada por
F_D = \tfrac{1}{2}\rho C_D A U^2,
onde \rho é a densidade do ar, C_D coeficiente de arrasto, A área efetiva e U a velocidade relativa do vento. Para a mesma pá/área e mesmo C_D, as diferenças de força entre duas alturas vêm apenas da dependência U^2. \n
  • Se a razão de velocidades é R_U = \dfrac{U_\text{top}}{U_\text{bot}} \approx 1{,}0242, então a razão de forças é
\frac{F_{D,\text{top}}}{F_{D,\text{bot}}} = R_U^2 \approx (1{,}0242)^2 \approx 1{,}0488.
Portanto a força de arrasto na ponta mais alta é cerca de 4{,}88\% maior que na ponta baixa. Arredondando conforme o enunciado: 4{,}9\%.

Passo 6

Cálculo do efeito sobre a densidade de potência do vento (aula curta sobre dependência com a velocidade): \n
  • A densidade de potência disponível no vento por área é
P_\text{dens} = \tfrac{1}{2}\rho U^3.
Logo a razão entre densidades de potência nas duas alturas é R_U^3. Com R_U=1{,}0242,
\frac{P_{\text{dens,top}}}{P_{\text{dens,bot}}} = R_U^3 \approx (1{,}0242)^3 \approx 1{,}0745.
Isso corresponde a um aumento de aproximadamente 7{,}45\% na densidade de potência da ponta mais alta em relação à ponta mais baixa.

Passo 7

Resumo físico e influência prática do resultado (aula / interpretação para prova): \n
  • O perfil logarítmico produz uma variação pequena, mas real, de velocidade ao longo do raio da pá: a ponta de cima (mais alta) vê vento ligeiramente mais forte que a ponta de baixo (mais baixa). No nosso cálculo a diferença é de aproximadamente 2{,}42\% (topo maior que base). \n
  • Consequência direta nas grandezas aerodinâmicas: como visto, força de arrasto (proporcional a U^2) aumenta cerca de 4{,}9\% e a densidade de potência do vento (proporcional a U^3) aumenta cerca de 7{,}45\% entre as pontas. \n
  • Influência prática na turbina: essas diferenças angulares geram flutuações cíclicas nas forças sobre as pás conforme elas giram (quando a pá sobe e desce ela vê velocidades ligeiramente diferentes). Isso provoca: \n
    • oscilações no torque e na potência gerada (torque pulsante); \n
    • carregamentos assimétricos que contribuem para fadiga estrutural nas pás e no cubo; \n
    • necessidade de projeto para reduzir vibrações (controle, balanceamento, dimensionamento para fadiga). \n
  • Observação final para prova: o procedimento mostrado (usar razão de logaritmos) é direto e rápido — memorizando que U(z)\propto \ln(z/z_0) você consegue comparar velocidades em alturas diferentes sem precisar do u_* ou de \kappa.

Resposta

a velocidade do vento tem um aumento de 2{,}42\% \n
forças de arrasto sobre as pás nas pontas apresentam aumento de 4{,}9\% \n
densidade de potência apresenta um aumento de 7{,}45\% \n
As forças, torque e potência apresentam uma oscilação conforme a posição angular das pás, ao longo da trajetória delas.

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