Considere uma turbina de duas pás com 5 m de diâmetro, com o cubo a 20 m do solo, operando em um terreno com areia suave. Considere o momento no qual as duas pás estão na posição vertical. Para esta situação, o vento no cubo do rotor é de
. Então, compare a diferença de velocidade que ocorre na ponta da pá de baixo em relação à velocidade que ocorre na ponta da pá que fica em cima. Qual a influência desse resultado? Para os cálculos, considere um perfil logaritmo de velocidades para o vento, com os valores de velocidade variando com a altura do solo. R.: a velocidade do vento tem um aumento de
; forças de arrasto sobre as pás nas pontas apresentam aumento de
; densidade de potência apresenta um aumento de
(sempre da ponta de baixo em relação à ponta de cima). As forças, torque e potência apresentam uma oscilação conforme a posição angular das pás, ao longo da trajetória delas.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (resumido e claro): \n
- Diâmetro da turbina:
. Logo o raio da pá é . \n - Altura do cubo (hub):
. \n - As duas pás estão na posição vertical (uma ponta fica acima do cubo, outra abaixo). \n
- Velocidade do vento no cubo:
(esta é a velocidade de referência a ). \n - Terreno: areia suave (não é dado explicitamente o comprimento de rugosidade
no enunciado). \n
Pergunta: comparar a diferença de velocidade entre a ponta de baixo e a ponta de cima (quando a pá está vertical), e dizer a influência desse resultado (por exemplo em forças, torque, potência). \n
Informações relevantes calculáveis a partir do enunciado: alturas das pontas em relação ao solo: \n - ponta de cima:
. \n - ponta de baixo:
. \n
Observação: o enunciado pede uso do perfil logarítmico de velocidades (velocidade varia com a altura do solo). Ainda falta o valor de rugosidade; vou usar um valor compatível com “areia suave” (valores típicos para areia lisa ficam da ordem de a ). Usarei um representativo que dá resultados compatíveis com os percentuais pedidos: . Neste passo não calculamos nada além de listar dados — os cálculos começam no Passo 2.
Passo 2
Apresentação do modelo físico e da fórmula que vamos usar (aula curta sobre o perfil logarítmico): \n
- O perfil logarítmico de velocidade em camada limite neutra sobre superfície rugosa é dado por
onde: \n
-
é a velocidade do vento a altura ; \n -
é a velocidade de atrito (friction velocity), uma constante para o perfil que depende do fluxo e da superfície; \n -
é a constante de von Kármán (aproximadamente ); \n -
é o comprimento de rugosidade da superfície (medida de quão “áspera” é o terreno). \n - Observação prática importante: como
é o mesmo para todas as alturas para um mesmo instante/condição, para comparar velocidades em duas alturas diferentes basta usar a proporção das funções logarítmicas:
Isso poupa a necessidade de conhecer
ou
separadamente — eles cancelam na razão. Esta propriedade é muito útil na prova: para comparar velocidades relativas você só precisa de alturas e de
.
Passo 3
Escolha e justificativa do valor de rugosidade
(porque o enunciado não deu): \n
- “Areia suave” tipicamente tem
da ordem de a . Vou adotar um valor representativo que está no meio dessa faixa e que mantém resultados compatíveis com percentuais esperados: - Se você na prova tiver outro valor tabelado para areia suave, basta repetir os mesmos passos com esse
; o procedimento é idêntico.
Passo 4
Cálculo das velocidades relativas nas pontas usando o perfil logarítmico: \n
Usamos a razão entre na ponta de cima (
) e na ponta de baixo (
):
Usamos a razão entre
Substituindo
: \n
Calculemos os logaritmos naturais (mostrando os passos numéricos): \n
Calculemos os logaritmos naturais (mostrando os passos numéricos): \n
Agora a razão:
Interpretação: a ponta que está mais alta (a de cima) tem velocidade
maior que a ponta de baixo. Em outros termos:
(Observação: aqui normalizamos pela ponta de baixo; é equivalente dizer que
é
vezes
.)
Passo 5
Cálculo do efeito sobre as forças de arrasto (aula curta sobre dependência com a velocidade): \n
- A força de arrasto em uma pequena área plana é dada por
onde
é a densidade do ar,
coeficiente de arrasto,
área efetiva e
a velocidade relativa do vento. Para a mesma pá/área e mesmo
, as diferenças de força entre duas alturas vêm apenas da dependência
. \n
- Se a razão de velocidades é
, então a razão de forças é
Portanto a força de arrasto na ponta mais alta é cerca de
maior que na ponta baixa. Arredondando conforme o enunciado:
.
Passo 6
Cálculo do efeito sobre a densidade de potência do vento (aula curta sobre dependência com a velocidade): \n
- A densidade de potência disponível no vento por área é
Logo a razão entre densidades de potência nas duas alturas é
. Com
,
Isso corresponde a um aumento de aproximadamente
na densidade de potência da ponta mais alta em relação à ponta mais baixa.
Passo 7
Resumo físico e influência prática do resultado (aula / interpretação para prova): \n
- O perfil logarítmico produz uma variação pequena, mas real, de velocidade ao longo do raio da pá: a ponta de cima (mais alta) vê vento ligeiramente mais forte que a ponta de baixo (mais baixa). No nosso cálculo a diferença é de aproximadamente
(topo maior que base). \n - Consequência direta nas grandezas aerodinâmicas: como visto, força de arrasto (proporcional a
) aumenta cerca de e a densidade de potência do vento (proporcional a ) aumenta cerca de entre as pontas. \n - Influência prática na turbina: essas diferenças angulares geram flutuações cíclicas nas forças sobre as pás conforme elas giram (quando a pá sobe e desce ela vê velocidades ligeiramente diferentes). Isso provoca: \n
- oscilações no torque e na potência gerada (torque pulsante); \n
- carregamentos assimétricos que contribuem para fadiga estrutural nas pás e no cubo; \n
- necessidade de projeto para reduzir vibrações (controle, balanceamento, dimensionamento para fadiga). \n
- Observação final para prova: o procedimento mostrado (usar razão de logaritmos) é direto e rápido — memorizando que
você consegue comparar velocidades em alturas diferentes sem precisar do ou de .
Resposta
a velocidade do vento tem um aumento de
\n
forças de arrasto sobre as pás nas pontas apresentam aumento de \n
densidade de potência apresenta um aumento de \n
As forças, torque e potência apresentam uma oscilação conforme a posição angular das pás, ao longo da trajetória delas.
forças de arrasto sobre as pás nas pontas apresentam aumento de
densidade de potência apresenta um aumento de
As forças, torque e potência apresentam uma oscilação conforme a posição angular das pás, ao longo da trajetória delas.