Considere v_{1}=(4,2,-3), v_{2}=(2,1,-2) e v_{3}=(-2,-1,0) . \quad v=(2,-1,1) é uma combinação linear de v_{1}, v_{2} e v_{3} ?

Passo 1

O enunciado pergunta se o vetor \,v=(2,-1,1) está no espaço gerado pelos vetores \,v_{1}=(4,2,-3), \,v_{2}=(2,1,-2) e \,v_{3}=(-2,-1,0). Isso equivale a decidir se existem escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha\,v_{1}+\beta\,v_{2}+\gamma\,v_{3}=v.

Passo 2

Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema linear
\begin{cases} 4\alpha \;+\;2\beta\;-\;2\gamma \;=\;2,\\[6pt] 2\alpha \;+\;\beta\;-\;\gamma \;=\;-1,\\[6pt] -3\alpha\;-\;2\beta\;+\;0\,\gamma \;=\;1. \end{cases}]

Passo 3

Para ver se há solução, basta comparar a primeira equação com o dobro da segunda. Se multiplicarmos \;2\alpha+\beta-\gamma=-1
por 2, obtemos
4\alpha +2\beta -2\gamma = -2,
mas a primeira equação exige
4\alpha +2\beta -2\gamma = 2.
Aqui temos -2=2, uma contradição, logo o sistema é inconsistente.

Resposta

Não. O vetor v não é combinação linear de v_{1},v_{2} e v_{3}.

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