Resolva o sistema
\left\{\begin{aligned} x-y+z+w & =3 \\\\ 2 x-2 y-3 z+2 w & =-4 \\\\ -x+y+3 z-w & =5 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema linear com 3 equações e 4 incógnitas
\begin{cases} x - y + z + w = 3,\\\\ 2x - 2y -3z +2w = -4,\\\\ -\,x + y +3z - w = 5, \end{cases}
usando o método de eliminação de Gauss para encontrar a forma escada e identificar as variáveis livres.

Passo 2

Aplicamos eliminação de Gauss: subtraímos 2 vezes a primeira equação da segunda e somamos a primeira na terceira. Obtemos o sistema equivalente
\begin{aligned} \text{(1)}&\colon x - y + z + w = 3,\\\ \text{(2')}&\colon 0x + 0y -5z +0w = -10,\\\ \text{(3')}&\colon 0x + 0y +4z +0w = 8. \end{aligned}

Passo 3

Da equação (2') vem
-5z = -10
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z = 2.
Note que (3') é múltiplo de (2'), confirmando que o posto é 2 e teremos 2 variáveis livres.

Passo 4

Substituindo z=2 na equação (1):
x - y + 2 + w = 3 \quad\Longrightarrow\quad x - y + w = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = y - w + 1.

Passo 5

Escolhemos duas variáveis livres, por exemplo
y = s,\quad w = t,
com s,t\in\mathbb{R}. Então
\begin{cases} x = s - t + 1,\\\ y = s,\\\ z = 2,\\\ w = t. \end{cases}

Resposta

A solução geral é
\{(x,y,z,w)\mid x = s - t + 1,\;y=s,\;z=2,\;w=t,\;s,t\in\mathbb{R}\}.

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