Considere que o valor médio do campo elétrico na atmosfera, em determinado dia e a um determinado ponto da superfície da Terra corresponde a
, dirigido verticalmente para baixo. A uma altitude de 1000 m , o campo é reduzido a
. Qual é a densidade média de carga na atmosfera, abaixo de 1000 m ? Assuma que a razão entre a variação do campo elétrico e a diferença de altura é proporcional à densidade de carga.
Passo 1
O enunciado dá o valor médio do campo elétrico em dois pontos verticais e pede a densidade média de carga entre eles. Dados fornecidos:
Pergunta: qual é a densidade média de carga elétrica
na atmosfera abaixo de
, assumindo que a variação do campo com a altura é proporcional à densidade de carga?
Passo 2
Vamos escolher um referencial fácil: o eixo
apontando para cima (padrão em física). Assim, um campo elétrico apontando para baixo tem componente
negativa. Tradução dos dados para
:
Aqui expliquei que o sinal negativo indica direção para baixo; o módulo (400 e 40) foi dado no enunciado e eu atribuí o sinal conforme a escolha do eixo.
Passo 3
Agora a relação física que liga variação do campo com a densidade de carga: a forma diferencial da Lei de Gauss (uma das equações de Maxwell)
onde
é a densidade volumétrica de carga (em
) e
é a permissividade do vácuo, com valor
Se o campo depende só da altura
e é vertical, então a divergência reduz-se à derivada vertical:
Portanto
Isto é exatamente a ideia do enunciado: a razão entre variação do campo e diferença de altura é proporcional à densidade de carga, sendo
o fator de proporcionalidade.
Passo 4
Queremos a densidade média de carga entre
e
. Aproximamos a derivada média por diferença finita:
Substituindo os valores (lembre que são negativos):
Logo a variação média por metro é
Passo 5
Usando
e a derivada média calculada:
Agora substituir
:
Lembre que
, porque
.
Passo 6
Fazendo a multiplicação:
Arredondando de forma sensata (duas casas significativas, compatível com dados do enunciado):
Observação física: o resultado é positivo, o que significa uma densidade média de carga positiva na camada considerada. O valor é muito pequeno, como é de se esperar para cargas espalhadas na atmosfera.