Considere que o valor médio do campo elétrico na atmosfera, em determinado dia e a um determinado ponto da superfície da Terra corresponde a 400 \mathrm{~V} / \mathrm{m}, dirigido verticalmente para baixo. A uma altitude de 1000 m , o campo é reduzido a 40 \mathrm{~V} / \mathrm{m}. Qual é a densidade média de carga na atmosfera, abaixo de 1000 m ? Assuma que a razão entre a variação do campo elétrico e a diferença de altura é proporcional à densidade de carga.

Passo 1

O enunciado dá o valor médio do campo elétrico em dois pontos verticais e pede a densidade média de carga entre eles. Dados fornecidos:
E\\ \text{na superfície (a }z=0\text{)} = 400\\ \mathrm{V/m},\\ \text{direção: para baixo}íçã
E\\ \text{a }z=1000\\ \mathrm{m} = 40\\ \mathrm{V/m},\\ \text{direção: para baixo}çã
Pergunta: qual é a densidade média de carga elétrica \rho na atmosfera abaixo de 1000\\ \mathrm{m}, assumindo que a variação do campo com a altura é proporcional à densidade de carga?

Passo 2

Vamos escolher um referencial fácil: o eixo z apontando para cima (padrão em física). Assim, um campo elétrico apontando para baixo tem componente E_z negativa. Tradução dos dados para E_z:
E_z(0)= -400\\ \mathrm{V/m},
E_z(1000)= -40\\ \mathrm{V/m}.
Aqui expliquei que o sinal negativo indica direção para baixo; o módulo (400 e 40) foi dado no enunciado e eu atribuí o sinal conforme a escolha do eixo.

Passo 3

Agora a relação física que liga variação do campo com a densidade de carga: a forma diferencial da Lei de Gauss (uma das equações de Maxwell)
\nabla\cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0},
onde \rho é a densidade volumétrica de carga (em \mathrm{C/m^3}) e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, com valor
\varepsilon_0 \approx 8,85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
Se o campo depende só da altura z e é vertical, então a divergência reduz-se à derivada vertical:
\nabla\cdot \mathbf{E} = \frac{dE_z}{dz}.
Portanto
\frac{dE_z}{dz} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}.
Isto é exatamente a ideia do enunciado: a razão entre variação do campo e diferença de altura é proporcional à densidade de carga, sendo \varepsilon_0 o fator de proporcionalidade.

Passo 4

Queremos a densidade média de carga entre z=0 e z=1000\\ \mathrm{m}. Aproximamos a derivada média por diferença finita:
\left\langle\frac{dE_z}{dz}\right\rangle \approx \frac{E_z(1000)-E_z(0)}{1000\\ \mathrm{m}}.
Substituindo os valores (lembre que são negativos):
E_z(1000)-E_z(0) = (-40) - (-400) = 360\\ \mathrm{V/m}.
Logo a variação média por metro é
\left\langle\frac{dE_z}{dz}\right\rangle = \frac{360}{1000}\\ \mathrm{V/m^2} = 0,36\\ \mathrm{V/m^2}.

Passo 5

Usando \rho=\varepsilon_0\,dE_z/dz e a derivada média calculada:
\rho_{\text{média}} \approx \varepsilon_0 \times 0,36\\ \mathrm{V/m^2}.é
Agora substituir \varepsilon_0:
\rho_{\text{média}} \approx (8,85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m})\times 0,36\\ \mathrm{V/m^2}.é
Lembre que \mathrm{F/m}\cdot\mathrm{V/m^2} = \mathrm{C/m^3}, porque \mathrm{F}\cdot\mathrm{V}=\mathrm{C}.

Passo 6

Fazendo a multiplicação:
\rho_{\text{média}} \approx 8,85\times10^{-12}\times 0,36 = 3,186\times10^{-12}\\ \mathrm{C/m^3}.é
Arredondando de forma sensata (duas casas significativas, compatível com dados do enunciado):
\rho_{\text{média}} \approx 3,19\times10^{-12}\\ \mathrm{C/m^3}.é
Observação física: o resultado é positivo, o que significa uma densidade média de carga positiva na camada considerada. O valor é muito pequeno, como é de se esperar para cargas espalhadas na atmosfera.

Resposta

\rho_{\text{média}}\approx 3,19\times10^{-12}\\ \mathrm{C/m^3}é

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