Verifique se a força
\mathbf{F}=r^{2} \mathbf{r}
é conservativa, onde \mathbf{r} é o vetor posição de um ponto do espaço com relação à origem do sistema de coordenadas. Em caso positivo, encontre o potencial escalar do qual \mathbf{F} deriva.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}=r^{2}\mathbf{r},
onde \mathbf{r} é o vetor posição de um ponto no espaço em relação à origem e r é o seu módulo. As perguntas são: (1) verificar se \mathbf{F} é conservativa; (2) em caso afirmativo, encontrar um potencial escalar do qual \mathbf{F} deriva. As informações relevantes fornecidas são exatamente a expressão acima e a definição implícita de \mathbf{r} e r.

Passo 2

Escrevendo tudo em coordenadas cartesianas para ficar explícito: \mathbf{r}=(x,y,z) e
r=\|\mathbf{r}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},\qquad r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
Portanto os componentes de \mathbf{F} são
\mathbf{F}=(F_{x},F_{y},F_{z})=\bigl(x\,r^{2},\;y\,r^{2},\;z\,r^{2}\bigr).
Escrever assim ajuda a manipular derivadas e a procurar um potencial.

Passo 3

Lembra do que significa “conservativa”: existe uma função escalar \varphi(x,y,z) tal que
\mathbf{F}=\nabla\varphi,
ou seja, F_{x}=\dfrac{\partial\varphi}{\partial x}, F_{y}=\dfrac{\partial\varphi}{\partial y}, F_{z}=\dfrac{\partial\varphi}{\partial z}. Outra condição frequentemente usada é que, em um domínio simplesmente conexo, \mathbf{F} é conservativa se e somente se \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}. Vou seguir a via direta de procurar \varphi, porque o campo é radial (paralelo a \mathbf{r}) e isso simplifica bastante.

Passo 4

Observação chave: \mathbf{F} é radial, isto é, paralelo a \mathbf{r}. Podemos reescrever
\mathbf{F}=r^{2}\mathbf{r}=r^{2}\bigl(r\hat{\mathbf{r}}\bigr)=r^{3}\hat{\mathbf{r}},
onde \hat{\mathbf{r}}=\mathbf{r}/r é o versor radial. Para funções escalares que dependem só de r, ou seja \varphi=\varphi(r), vale a fórmula (cadeia + direção radial)
\nabla\varphi(r)=\varphi'(r)\,\hat{\mathbf{r}}=\varphi'(r)\,\frac{\mathbf{r}}{r}.
Queremos \nabla\varphi=\mathbf{F}=r^{3}\hat{\mathbf{r}}. Comparando os coeficientes na direção radial obtemos a equação escalar
\varphi'(r)=r^{3}.
Isto é um problema de cálculo bem direto: achamos a derivada radial de \varphi.

Passo 5

Integramos a equação \varphi'(r)=r^{3} em relação a r:
\varphi(r)=\int r^{3}\,dr=\frac{r^{4}}{4}+C,
onde C é constante. Assim em termos de x,y,z (lembrando r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}) temos
\varphi(x,y,z)=\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{4}+C.

Passo 6

Verificação direta por derivação (importante para “fechar” a conta): defina u=x^{2}+y^{2}+z^{2}, então \varphi=\tfrac{1}{4}u^{2}. Pelo efeito da regra da cadeia,
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=\frac{1}{4}\cdot 2u\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{2}u\cdot 2x = x\,u = x\,r^{2},
e analogamente para y e z. Logo
\nabla\varphi=(x r^{2},\; y r^{2},\; z r^{2})=\mathbf{F},
o que confirma que \mathbf{F} deriva do potencial encontrado.

Passo 7

Conclusão sobre o domínio: a expressão de \varphi é uma função polinomial em x,y,z, suave em todo \mathbb{R}^{3}. Portanto \mathbf{F} é conservativa em todo o espaço \mathbb{R}^{3} e não há problema no ponto r=0 (o campo dado por componentes é nulo lá e \varphi é diferenciável).

Resposta

Sim. \displaystyle \varphi(x,y,z)=\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{4}+C.
\displaystyle

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