Verifique se a força
é conservativa, onde
é o vetor posição de um ponto do espaço com relação à origem do sistema de coordenadas. Em caso positivo, encontre o potencial escalar do qual
deriva.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
onde
é o vetor posição de um ponto no espaço em relação à origem e
é o seu módulo. As perguntas são: (1) verificar se
é conservativa; (2) em caso afirmativo, encontrar um potencial escalar do qual
deriva. As informações relevantes fornecidas são exatamente a expressão acima e a definição implícita de
e
.
Passo 2
Escrevendo tudo em coordenadas cartesianas para ficar explícito:
e
Portanto os componentes de
são
Escrever assim ajuda a manipular derivadas e a procurar um potencial.
Passo 3
Lembra do que significa “conservativa”: existe uma função escalar
tal que
ou seja,
,
,
. Outra condição frequentemente usada é que, em um domínio simplesmente conexo,
é conservativa se e somente se
. Vou seguir a via direta de procurar
, porque o campo é radial (paralelo a
) e isso simplifica bastante.
Passo 4
Observação chave:
é radial, isto é, paralelo a
. Podemos reescrever
onde
é o versor radial. Para funções escalares que dependem só de
, ou seja
, vale a fórmula (cadeia + direção radial)
Queremos
. Comparando os coeficientes na direção radial obtemos a equação escalar
Isto é um problema de cálculo bem direto: achamos a derivada radial de
.
Passo 5
Integramos a equação
em relação a
:
onde
é constante. Assim em termos de
(lembrando
) temos
Passo 6
Verificação direta por derivação (importante para “fechar” a conta): defina
, então
. Pelo efeito da regra da cadeia,
e analogamente para
e
. Logo
o que confirma que
deriva do potencial encontrado.
Passo 7
Conclusão sobre o domínio: a expressão de
é uma função polinomial em
, suave em todo
. Portanto
é conservativa em todo o espaço
e não há problema no ponto
(o campo dado por componentes é nulo lá e
é diferenciável).
Resposta
Sim.